Usando a segunda regra composta de Simpson (
), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Foi dada a integral
- O enunciado pede:
- Calcular a integral na forma aproximada usando a segunda regra composta de Simpson com passo
. - Calcular a integral na forma exata.
- Determinar o erro da aproximação (diferença entre aproximado e exato).
- Calcular a integral na forma aproximada usando a segunda regra composta de Simpson com passo
Informações importantes dadas: o intervalo de integração é
e o passo para a regra composta é
.
Passo 2
Explicação didática da regra composta de Simpson (fórmula e variáveis).
A regra composta de Simpson (a versão mais comum, também chamada de regra de Simpson 1/3 composta) aproxima
dividindo
em
subintervalos de mesmo comprimento
, com
par,
. Denotando
e
, a fórmula é
O que cada símbolo significa:
-
: limites de integração. -
: número de subintervalos (deve ser par). -
: largura de cada subintervalo, . -
: nós, , para . -
: valor da função no nó , .
Observações importantes para a prova:
- Verifique sempre que
é par; se não for, não se pode aplicar diretamente a fórmula acima. - Para polinômios de grau até
, a regra de Simpson é exata (ou seja, aproximação igual à integral exata). - O termo de erro (forma teórica) para a regra composta de Simpson é
para algum
. Assim, se
em todo o intervalo (por exemplo, se
é polinomial de grau
), então
.
No nosso caso o enunciado manda usar
. Vamos checar quantos subintervalos isso gera e aplicar a fórmula.
Passo 3
Determinar
, os nós
e calcular
.
- O intervalo é
. Com temos
que é par — ótimo, a fórmula se aplica.
-
Os nós são
, . Ou seja: -
Calcular
em cada nó (vou mostrar as contas):
Passo 4
Aplicar a regra composta de Simpson com
.
A fórmula com
e
é
Substituindo os valores calculados:
Agora a soma:
Portanto a aproximação pela regra composta de Simpson com
é
.
Passo 5
Calcular a integral exata (integração indefinida e avaliação nos limites).
Integrando termo a termo,
Avaliar de
a
:
Colocando em denominador comum
para fazer as somas:
Logo a integral exata é
Portanto o valor exato da integral também é
.
Passo 6
Determinar o erro e explicar por que deu esse valor.
- O erro numérico é
- Explicação teórica: a função
é um polinômio de grau . Para a regra de Simpson (composta), qualquer polinômio de grau é integrado exatamente pela fórmula, portanto o erro é nulo. Outra via: a fórmula do erro da regra composta de Simpson envolve ; aqui
portanto o termo de erro teórico é zero.
Resultado prático e garantia teórica: aproximação exata, erro
.