Usando a segunda regra composta de Simpson ( h=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+7 x+13\right) d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dada a integral
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+7x+13\right)\,dx.
  • O enunciado pede:
    1. Calcular a integral na forma aproximada usando a segunda regra composta de Simpson com passo h=1.
    2. Calcular a integral na forma exata.
    3. Determinar o erro da aproximação (diferença entre aproximado e exato).
Informações importantes dadas: o intervalo de integração é [1,7] e o passo para a regra composta é h=1.

Passo 2

Explicação didática da regra composta de Simpson (fórmula e variáveis).
A regra composta de Simpson (a versão mais comum, também chamada de regra de Simpson 1/3 composta) aproxima \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx dividindo [a,b] em n subintervalos de mesmo comprimento h, com n par, h=(b-a)/n. Denotando x_i=a+i h e f_i=f(x_i), a fórmula é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl(f_0+f_n + 4\sum_{i=1,\,i\\ \text{ímpar}}^{n-1} f_i + 2\sum_{i=2,\,i\\ \text{par}}^{n-2} f_i\Bigr).í
O que cada símbolo significa:
  • a,b: limites de integração.
  • n: número de subintervalos (deve ser par).
  • h: largura de cada subintervalo, h=(b-a)/n.
  • x_i: nós, x_i=a+i h, para i=0,1,\dots,n.
  • f_i: valor da função no nó x_i, f_i=f(x_i).
Observações importantes para a prova:
  • Verifique sempre que n é par; se não for, não se pode aplicar diretamente a fórmula acima.
  • Para polinômios de grau até 3, a regra de Simpson é exata (ou seja, aproximação igual à integral exata).
  • O termo de erro (forma teórica) para a regra composta de Simpson é
E = -\frac{(b-a)}{180}\,h^{4}\,f^{(4)}(\xi)
para algum \xi\in(a,b). Assim, se f^{(4)}(x)=0 em todo o intervalo (por exemplo, se f é polinomial de grau \le 3), então E=0.
No nosso caso o enunciado manda usar h=1. Vamos checar quantos subintervalos isso gera e aplicar a fórmula.

Passo 3

Determinar n, os nós x_i e calcular f(x_i).
  • O intervalo é [1,7]. Com h=1 temos
n=\frac{b-a}{h}=\frac{7-1}{1}=6,
que é par — ótimo, a fórmula se aplica.
  • Os nós são x_i=1+i, i=0,\dots,6. Ou seja:
    x_0=1,\\ x_1=2,\\ x_2=3,\\ x_3=4,\\ x_4=5,\\ x_5=6,\\ x_6=7.
  • Calcular f(x)=x^{2}+7x+13 em cada nó (vou mostrar as contas):
    \begin{aligned} f(x_0)&=f(1)=1^{2}+7\cdot1+13=1+7+13=21,\\\ f(x_1)&=f(2)=2^{2}+7\cdot2+13=4+14+13=31,\\\ f(x_2)&=f(3)=3^{2}+7\cdot3+13=9+21+13=43,\\\ f(x_3)&=f(4)=4^{2}+7\cdot4+13=16+28+13=57,\\\ f(x_4)&=f(5)=5^{2}+7\cdot5+13=25+35+13=73,\\\ f(x_5)&=f(6)=6^{2}+7\cdot6+13=36+42+13=91,\\\ f(x_6)&=f(7)=7^{2}+7\cdot7+13=49+49+13=111. \end{aligned}

Passo 4

Aplicar a regra composta de Simpson com h=1.
A fórmula com h=1 e n=6 é
I_{\text{approx}}=\frac{1}{3}\Bigl(f_0+f_6 + 4(f_1+f_3+f_5) + 2(f_2+f_4)\Bigr).
Substituindo os valores calculados:
\begin{aligned} f_0+f_6&=21+111=132,\\\ f_1+f_3+f_5&=31+57+91=179,\\\ f_2+f_4&=43+73=116. \end{aligned}
Agora a soma:
I_{\text{approx}}=\frac{1}{3}\bigl(132 + 4\cdot179 + 2\cdot116\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(132 + 716 + 232\bigr) =\frac{1}{3}\cdot1080=360.
Portanto a aproximação pela regra composta de Simpson com h=1 é 360.

Passo 5

Calcular a integral exata (integração indefinida e avaliação nos limites).
Integrando termo a termo,
\int\left(x^{2}+7x+13\right)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}+13x + C.
Avaliar de 1 a 7:
\begin{aligned} F(7)&=\frac{7^{3}}{3}+\frac{7\cdot7^{2}}{2}+13\cdot7 =\frac{343}{3}+\frac{7\cdot49}{2}+91,\\\ F(1)&=\frac{1^{3}}{3}+\frac{7\cdot1^{2}}{2}+13\cdot1 =\frac{1}{3}+\frac{7}{2}+13. \end{aligned}
Colocando em denominador comum 6 para fazer as somas:
\begin{aligned} F(7)&=\frac{343\cdot2}{6}+\frac{343\cdot3}{6}+\frac{91\cdot6}{6} =\frac{686+1029+546}{6}=\frac{2261}{6},\\\ F(1)&=\frac{2+21+78}{6}=\frac{101}{6}. \end{aligned}
Logo a integral exata é
I_{\text{exata}}=F(7)-F(1)=\frac{2261}{6}-\frac{101}{6}=\frac{2160}{6}=360.
Portanto o valor exato da integral também é 360.

Passo 6

Determinar o erro e explicar por que deu esse valor.
  • O erro numérico é
\text{Erro}=I_{\text{exata}}-I_{\text{approx}}=360-360=0.
  • Explicação teórica: a função f(x)=x^{2}+7x+13 é um polinômio de grau 2. Para a regra de Simpson (composta), qualquer polinômio de grau \le 3 é integrado exatamente pela fórmula, portanto o erro é nulo. Outra via: a fórmula do erro da regra composta de Simpson envolve f^{(4)}(\xi); aqui
f'(x)=2x+7,\qquad f''(x)=2,\qquad f^{(3)}(x)=0,\qquad f^{(4)}(x)=0,
portanto o termo de erro teórico é zero.
Resultado prático e garantia teórica: aproximação exata, erro 0.

Resposta

I_{\text{aprox}}=360
I_{\text{exata}}=360
\text{Erro}=0

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