Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
\frac{d y}{d x}=e^{x-2 y}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial dada. As informações fornecidas são:
  • A equação diferencial é \dfrac{dy}{dx}=e^{x-2y}.
  • Não há condições iniciais; então busca-se a solução geral (família de soluções com constante arbitrária).

Passo 2

Observação sobre a forma da equação (sem resolver ainda): a expressão do lado direito pode ser separada em fatores que dependem somente de x e somente de y. Vou manipular algebricamente para colocar todos os termos com y junto de dy e todos os termos com x junto de dx. Isso permite integrar cada lado independentemente.

Passo 3

Reescrevendo o lado direito usando propriedades de exponenciais:
e^{x-2y}=e^{x}\,e^{-2y}.
Logo a equação fica
\frac{dy}{dx}=e^{x}e^{-2y}.
Agora isolo os termos em y do lado esquerdo e os de x do lado direito. Multiplico ambos os lados por e^{2y} e por dx:
e^{2y}\,dy=e^{x}\,dx.
Isso é o que chamamos de separar variáveis: todos os y com dy à esquerda e todos os x com dx à direita.

Passo 4

Integro ambos os lados em relação às suas variáveis. Escrevo as integrais:
\int e^{2y}\,dy = \int e^{x}\,dx.
Vou calcular cada integral com calma.

Passo 5

Integral do lado esquerdo: usar substituição simples. Seja u=2y, então du=2\,dy e dy=\dfrac{du}{2}. Assim
\int e^{2y}\,dy=\int e^{u}\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{u}+\text{const}=\frac{1}{2}e^{2y}+\text{const}.
Integral do lado direito é direta:
\int e^{x}\,dx=e^{x}+\text{const}.

Passo 6

Igualando as primitivas (colocando apenas uma constante arbitrária no final) obtemos
\frac{1}{2}e^{2y}=e^{x}+C,
onde C é uma constante real arbitrária. Multiplicando por 2 e renomeando a constante se quiser, uma forma equivalente é
e^{2y}=2e^{x}+C',
onde C'=2C é outra constante real arbitrária.

Passo 7

Isolando y de forma explícita (aplicando logaritmo natural), obtemos
2y=\ln\!\bigl(2e^{x}+C'\bigr)
e portanto
y=\frac{1}{2}\ln\!\bigl(2e^{x}+C'\bigr).
Aqui é importante anotar a condição de existência do logaritmo: a expressão dentro do logaritmo deve ser positiva, ou seja \;2e^{x}+C'>0. Essa restrição determina o domínio em x para cada constante C'.

Passo 8

Verificação rápida (boa prática para a prova): derivando a solução explícita para conferir que satisfaz a equação original. Se y=\dfrac{1}{2}\ln(2e^{x}+C') então
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2e^{x}+C'}\cdot 2e^{x}=\frac{e^{x}}{2e^{x}+C'}.
Por outro lado,
e^{x-2y}=e^{x}\,e^{-2y}=e^{x}\,\frac{1}{e^{2y}}=e^{x}\,\frac{1}{2e^{x}+C'}=\frac{e^{x}}{2e^{x}+C'}.
Portanto a derivada coincide com o lado direito e a solução está correta (onde definida).

Resposta

e^{2y}=2e^{x}+C,\quad C\in\mathbb{R}
\text{ou}\qquad y=\frac{1}{2}\ln\!\bigl(2e^{x}+C\bigr),\quad 2e^{x}+C>0

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