Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial dada. As informações fornecidas são:
- A equação diferencial é
. - Não há condições iniciais; então busca-se a solução geral (família de soluções com constante arbitrária).
Passo 2
Observação sobre a forma da equação (sem resolver ainda): a expressão do lado direito pode ser separada em fatores que dependem somente de
e somente de
. Vou manipular algebricamente para colocar todos os termos com
junto de
e todos os termos com
junto de
. Isso permite integrar cada lado independentemente.
Passo 3
Reescrevendo o lado direito usando propriedades de exponenciais:
Logo a equação fica
Agora isolo os termos em
do lado esquerdo e os de
do lado direito. Multiplico ambos os lados por
e por
:
Isso é o que chamamos de separar variáveis: todos os
com
à esquerda e todos os
com
à direita.
Passo 4
Integro ambos os lados em relação às suas variáveis. Escrevo as integrais:
Vou calcular cada integral com calma.
Passo 5
Integral do lado esquerdo: usar substituição simples. Seja
, então
e
. Assim
Integral do lado direito é direta:
Passo 6
Igualando as primitivas (colocando apenas uma constante arbitrária no final) obtemos
onde
é uma constante real arbitrária. Multiplicando por
e renomeando a constante se quiser, uma forma equivalente é
onde
é outra constante real arbitrária.
Passo 7
Isolando
de forma explícita (aplicando logaritmo natural), obtemos
e portanto
Aqui é importante anotar a condição de existência do logaritmo: a expressão dentro do logaritmo deve ser positiva, ou seja
. Essa restrição determina o domínio em
para cada constante
.
Passo 8
Verificação rápida (boa prática para a prova): derivando a solução explícita para conferir que satisfaz a equação original. Se
então
Por outro lado,
Portanto a derivada coincide com o lado direito e a solução está correta (onde definida).