Durante o dia, um determinado edifício recebe a irradiação de raios solares de forma que, durante o período de 10 h às 15 h , a temperatura ambiente fora do edifício seja de aproximadamente 31^{\circ} \mathrm{C}. Às 11 h da manhã, a temperatura dentro do edifício é de 26^{\circ} \mathrm{C}, enquanto às 15 h é de 28,6^{\circ} \mathrm{C}. Qual a temperatura do edifício às 10 h da manhã, considerando que o aquecimento segue uma versão modificada da Lei de Newton para o Resfriamento, dada por:
\frac{d T}{d t}=-k\left(T-T_{a}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que importa para resolver o problema):
  • A temperatura ambiente fora do edifício, durante o período das 10 h às 15 h, é aproximadamente \,31^\circ\mathrm{C}. Ou seja, a temperatura ambiente é constante e igual a \,T_a = 31^\circ\mathrm{C}.
  • Às 11 h a temperatura dentro do edifício é \,26^\circ\mathrm{C}.
  • Às 15 h a temperatura dentro do edifício é \,28{,}6^\circ\mathrm{C}.
  • O aquecimento segue a versão dada da Lei de Newton para o Resfriamento:
\frac{dT}{dt}=-k\bigl(T-T_a\bigr),
onde k>0 é constante de proporcionalidade (unidade: \mathrm{h}^{-1} se t está em horas) e T_a é a temperatura ambiente.
A pergunta que temos de responder é: qual é a temperatura dentro do edifício às 10 h da manhã? Vou chamar essa temperatura de T_0. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Entendendo a equação diferencial e como resolvê-la (aulas rápidas).
A equação
\frac{dT}{dt}=-k\bigl(T-T_a\bigr)
é uma equação diferencial linear de primeira ordem e também separável. A ideia é separar as variáveis e integrar.
Passo a passo da solução geral:
\frac{dT}{dt}=-k\bigl(T-T_a\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{T-T_a}=-k\,dt.
Integro ambos os lados:
\int\frac{dT}{T-T_a}=\int -k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|T-T_a\bigr|=-kt+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
T-T_a = C_1 e^{-kt},
com C_1 real (pode ser positivo ou negativo). Portanto a solução geral é
T(t)=T_a + C_1 e^{-kt}.
No contexto físico T_a é constante conhecida e C_1 será determinado por uma condição inicial (a temperatura no tempo inicial).

Passo 3

Escolha do referencial de tempo e expressão com a condição inicial.
É conveniente medir o tempo em horas a partir das 10 h. Defino
t=0\\ \text{em 10 h},\qquad T(0)=T_0\\ (\text{valor que queremos}).
Com essa escolha a solução fica
T(t)=T_a + (T_0-T_a)e^{-kt}.
Agora transformo as informações dadas em condições:
  • Às 11 h corresponde a t=1 e temos T(1)=26^\circ\mathrm{C}.
  • Às 15 h corresponde a t=5 e temos T(5)=28{,}6^\circ\mathrm{C}.
    E lembrando que T_a=31^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Usando a condição em t=1 (às 11 h) para escrever uma equação.
Substituo t=1 na solução:
T(1)=31 + (T_0-31)e^{-k}=26.
Isolando o termo com T_0:
(T_0-31)e^{-k}=26-31=-5.
Multiplicando ambos os lados por e^{k} obtemos uma expressão útil para T_0-31:
T_0-31 = -5e^{k}.

Passo 5

Usando a condição em t=5 (às 15 h) e eliminando T_0 para achar k.
Substituo t=5 na solução:
T(5)=31 + (T_0-31)e^{-5k}=28{,}6.
Agora substituo T_0-31 = -5e^{k} (do passo anterior):
28{,}6 = 31 + \bigl(-5e^{k}\bigr)e^{-5k} = 31 -5e^{-4k}.
Isolando e^{-4k}:
31-28{,}6 = 5e^{-4k}\quad\Longrightarrow\quad 2{,}4 = 5e^{-4k}.
Portanto
e^{-4k}=\frac{2{,}4}{5}=0{,}48.

Passo 6

Resolver para k.
Tomo logaritmo natural em ambos os lados:
-4k=\ln(0{,}48)\quad\Longrightarrow\quad k=-\frac{1}{4}\ln(0{,}48).
Agora calculo numericamente. Usando \ln(0{,}48)\approx -0{,}733969\ldots temos
k \approx -\frac{1}{4}\times(-0{,}733969)\approx 0{,}183492\\ \text{h}^{-1}.
Então a constante de aquecimento é aproximadamente \,k\approx 0{,}1835\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 7

Calcular T_0 (a temperatura às 10 h) usando a relação do Passo 4.
Lembremos que
T_0-31 = -5e^{k}.
Com k\approx 0{,}183492 calculo e^{k}:
e^{k}\approx e^{0{,}183492}\approx 1{,}20136.
Então
T_0-31 \approx -5\times 1{,}20136 \approx -6{,}0068,
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T_0 \approx 31 - 6{,}0068 \approx 24{,}9932^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma confortável para uma casa decimal, \,T_0\approx 25{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Verificação rápida (validação).
Faço um cheque rápido para ver se os valores batem com as condições:
  • Com T_0\approx 24{,}9932 e k\approx 0{,}183492:
T(1)=31+(24{,}9932-31)e^{-0{,}183492}\approx 31-6{,}0068\times 0{,}8325\approx 26{,}0^\circ\mathrm{C},
e
T(5)=31-6{,}0068\times e^{-0{,}91746}\approx 31-6{,}0068\times 0{,}399\approx 28{,}6^\circ\mathrm{C}.
As duas condições dadas são satisfeitas (dentro de erros de arredondamento), então o resultado é consistente.

Resposta

25{,}0^\circ\mathrm{C}

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