Durante o dia, um determinado edifício recebe a irradiação de raios solares de forma que, durante o período de 10 h às 15 h , a temperatura ambiente fora do edifício seja de aproximadamente 31^{\circ} \mathrm{C}. Às 11 h da manhã, a temperatura dentro do edifício é de 26^{\circ} \mathrm{C}, enquanto às 15 h é de 28,6^{\circ} \mathrm{C}. Qual a temperatura do edifício às 10 h da manhã, considerando que o aquecimento segue uma versão modificada da Lei de Newton para o Resfriamento, dada por:
\frac{d T}{d t}=-k\left(T-T_{a}\right)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que importa para resolver o problema):
A temperatura ambiente fora do edifício, durante o período das 10 h às 15 h, é aproximadamente \,31^\circ\mathrm{C}. Ou seja, a temperatura ambiente é constante e igual a \,T_a = 31^\circ\mathrm{C}.
Às 11 h a temperatura dentro do edifício é \,26^\circ\mathrm{C}.
Às 15 h a temperatura dentro do edifício é \,28{,}6^\circ\mathrm{C}.
O aquecimento segue a versão dada da Lei de Newton para o Resfriamento:
\frac{dT}{dt}=-k\bigl(T-T_a\bigr),
onde k>0 é constante de proporcionalidade (unidade: \mathrm{h}^{-1} se t está em horas) e T_a é a temperatura ambiente.
A pergunta que temos de responder é: qual é a temperatura dentro do edifício às 10 h da manhã? Vou chamar essa temperatura de T_0. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Entendendo a equação diferencial e como resolvê-la (aulas rápidas).
A equação
\frac{dT}{dt}=-k\bigl(T-T_a\bigr)
é uma equação diferencial linear de primeira ordem e também separável. A ideia é separar as variáveis e integrar.