Seja alpha a maior raiz de x^2+x-1=0. O valor de alpha^5-5 alpha é :

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que α é a maior raiz da equação
x^2 + x - 1 = 0
e pede pra gente calcular
alpha^5 ;-; 5alpha
Conteúdo: equação quadrática, fórmula de Bhaskara, e uso da própria relação pra simplificar potências altas de α. Vamos precisar só de álgebra básica e de usar esse truque de expressar em função de α.

Passo 2

Primeiro, pela fórmula de Bhaskara a gente encontra
alpha = -1 + raiz1 + 42 = -1 + raiz52
Mas, mais importante que o valor numérico é notar que, por ser raiz, vale
alpha^2 + alpha - 1 = 0 Longrightarrow alpha^2 = 1 - alpha

Passo 3

Agora bora achar alpha^3 = alpha cdot alpha^2 = alpha(1 - alpha) = alpha - alpha^2 . Usamos
alpha^3 = alpha - (1 - alpha) = 2alpha - 1
E como , dá

Passo 4

Seguindo, alpha^4 = alpha(2alpha - 1) = 2alpha^2 - alpha = 2(1 - alpha) - alpha = 2 - 3alpha :

Passo 5

Agora alpha^5 = alpha(2 - 3alpha) = 2alpha - 3alpha^2 = 2alpha - 3(1 - alpha) = 2alpha - 3 + 3alpha = 5alpha - 3 :

Passo 6

Finalmente, monta o que a gente quer:
alpha^5 - 5alpha = (5alpha - 3) - 5alpha = -3

Resposta

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