Determine todas as derivadas parciais de 2^a ordem:
f(x, y)=x^3 y^5+2 x^4 y

Passo 1

Beleza, o enunciado quer todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y) = x^3 y^5 + 2,x^4 y
Isso é cálculo de derivadas parciais (matéria: cálculo multivariável).
O que precisamos:
  • Entender que, pra derivada parcial em relação a , tratamos como constante (e vice-versa).
  • Aplicar a regra do poder (“ ”) e a constante sai na frente.
A partir do próximo passo, vamó fazer de fato as contas.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem.
  1. Derivada parcial de fx(x,y) = 3x^2 y^5 + 8x^3 y em relação a , :
    • Na parte : é constante, vem junto, e .
      Então dá .
    • Na parte : é constante, sai junto, e .
      Então dá .
      Somando as duas:

Passo 3

  1. Derivada parcial de fy(x,y) = 5x^3 y^4 + 2x^4 em relação a , :
    • Na parte : é constante, sai junto, e .
      Então .
    • Na parte : é constante, sai junto, e .
      Então .
      Logo:

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem. Primeiro, fx = 3x^2 y^5 + 8x^3 y :
fxx(x,y) = 6x,y^5 + 24x^2 y
– Derivando em relação a : é constante, .
Fica .
– Derivando : constante, .
Fica .
Somando:

Passo 5

Depois, fx = 3x^2 y^5 + 8x^3 y :
fxy(x,y) = 15x^2 y^4 + 8x^3
– Derivada de em : constante, , dá .
– Derivada de em : constante, , dá .
Somando:

Passo 6

Como a ordem de derivação não importa em funções bem comportadas, teremos
.

Passo 7

E por fim, fy = 5x^3 y^4 + 2x^4 :
fyy(x,y) = 20x^3 y^3
– Derivada de em : constante, , dá .
– Derivada de em : não tem , é constante, dá .
Logo:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx(x,y) = 6x,y^5 + 24x^2 y,[6pt] fxy(x,y) = fyx(x,y) = 15x^2 y^4 + 8x^3,[6pt] fyy(x,y) = 20x^3 y^3

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