Determine todas as derivadas parciais de
ordem:
Passo 1
Beleza, o enunciado quer todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
Isso é cálculo de derivadas parciais (matéria: cálculo multivariável).
O que precisamos:
O que precisamos:
- Entender que, pra derivada parcial em relação a
, tratamos como constante (e vice-versa). - Aplicar a regra do poder (“
”) e a constante sai na frente.
A partir do próximo passo, vamó fazer de fato as contas.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem.
- Derivada parcial de
em relação a , : - Na parte
: é constante, vem junto, e .
Então dá. - Na parte
: é constante, sai junto, e .
Então dá.
Somando as duas:
- Na parte
Passo 3
- Derivada parcial de
em relação a , : - Na parte
: é constante, sai junto, e .
Então. - Na parte
: é constante, sai junto, e .
Então.
Logo:
- Na parte
Passo 4
Agora as derivadas de segunda ordem. Primeiro,
:
– Derivando
em relação a
:
é constante,
.
Fica .
– Derivando :
constante,
.
Fica .
Somando:
Fica
– Derivando
Fica
Somando:
Passo 5
Depois,
:
– Derivada de
em
:
constante,
, dá
.
– Derivada de em
:
constante,
, dá
.
Somando:
– Derivada de
Somando:
Passo 6
Como a ordem de derivação não importa em funções bem comportadas, teremos
.
Passo 7
E por fim,
:
– Derivada de
em
:
constante,
, dá
.
– Derivada de em
: não tem
, é constante, dá
.
Logo:
– Derivada de
Logo:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: