Seja f(x)=ln (x+1).
Obtenha o polinômio de Taylor de quarta ordem ao redor de x0=0,15 e calcule uma aproximação para f(0,25).

Passo 1

Beleza, o exercício diz:
“Seja T4(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)2!(x-x0)^2+f'''(x0)3!(x-x0)^3+f^(4)(x0)4!(x-x0)^4 . Obtenha o polinômio de Taylor de quarta ordem em torno de e use-o para aproximar .”
Conteúdo envolvido: séries de Taylor (expansão de funções em torno de um ponto usando derivadas) e cálculo de derivadas até a quarta ordem.
O que vamos precisar:
  1. Fórmula do polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de :
  1. As derivadas de até a quarta ordem, avaliadas em .
  2. Substituir no polinômio e somar os termos.

Passo 2

Primeiro, achamos as derivadas de f(x0)&=ln(1.15), f'(x0)&=11.15, f''(x0)&=-1(1.15)^2, f'''(x0)&=2(1.15)^3, f^(4)(x0)&=-6(1.15)^4 e avaliamos em T4(x)&=ln(1.15) +11.15(x-0.15) +-1/(1.15)^22!(x-0.15)^2 &+2/(1.15)^33!(x-0.15)^3 +-6/(1.15)^44!(x-0.15)^4 . Note que .
Agora avalia em :
Então o polinômio de Taylor de quarta ordem é

Passo 3

Agora queremos De. Note que
T4(0.25)&=ln(1.15) +11.15(0.10) +-1/(1.15)^22(0.10)^2 &+2/(1.15)^36(0.10)^3 +-6/(1.15)^424(0.10)^4
Substituindo em cada termo:

Passo 4

Vamos calcular cada pedaço (valores aproximados):
ln(1.15)&approx0.13976, 11.15cdot0.10&approx0.08696, -12(1.15)^2cdot(0.10)^2&approx-0.00378, 26(1.15)^3cdot(0.10)^3&approx0.00022, -624(1.15)^4cdot(0.10)^4&approx-0.00001
Somando tudo dá
T4(0.25)approx0.13976+0.08696-0.00378+0.00022-0.00001approx0.22314

Resposta

O polinômio de Taylor de quarta ordem em torno de T4(x)=ln(1.15) +11.15(x-0.15) -12(1.15)^2(x-0.15)^2 +26(1.15)^3(x-0.15)^3 -624(1.15)^4(x-0.15)^4, é
f(0.25)approx T4(0.25)approx0.22314
e a aproximação para é

Exercícios relacionados