Seja
.
Obtenha o polinômio de Taylor de quarta ordem ao redor de
calcule uma aproximação para
.
Obtenha o polinômio de Taylor de quarta ordem ao redor de
Passo 1
Beleza, o exercício diz:
“Seja . Obtenha o polinômio de Taylor de quarta ordem em torno de
e use-o para aproximar
.”
“Seja
Conteúdo envolvido: séries de Taylor (expansão de funções em torno de um ponto usando derivadas) e cálculo de derivadas até a quarta ordem.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Fórmula do polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de
:
- As derivadas de
até a quarta ordem, avaliadas em . - Substituir
no polinômio e somar os termos.
Passo 2
Primeiro, achamos as derivadas de
e avaliamos em
. Note que
.
Agora avalia em
:
Então o polinômio de Taylor de quarta ordem é
Passo 3
Agora queremos
. Note que
Substituindo
em cada termo:
Passo 4
Vamos calcular cada pedaço (valores aproximados):
Somando tudo dá
Resposta
O polinômio de Taylor de quarta ordem em torno de
é
e a aproximação para
é