O problema para resolver f(x)=ln (x)-x+2=0 pode ser resolvido num problema equivalente da forma x=psi(x). Para o processo iterativo definido por xk+1=psi(xk), analisar a convergência quando:
a) psi(x)=2+ln (x)
b) psi(x)=exp (x-2).

Passo 1

Beleza, o problema é resolver
f(x)=ln(x)-x+2=0
transformando em iteração de ponto-fixo
x = psi(x),
e aí checar se a sequência
xk+1 = psi(xk)
converge. Isso entra nos métodos numéricos de ponto-fixo (ou métodos de iteração), e o que a gente precisa mesmo é do critério de contração: olhar e ver se num intervalo que contenha a raiz.

Passo 2

Primeiro, lembrando do teorema de ponto-fixo (conhecido também como Teorema do Contraction Mapping):
  1. Se mapeia um intervalo em si mesmo, ou seja, .
  2. Se existe tal que para todo .
    Então, pra qualquer , a iteração converge para o único ponto-fixo .

Passo 3

a) psi'(x) = 1x
  • Derivada:
  • Escolhemos um intervalo que contenha a raiz aproximada . Observando e , a raiz está em torno de .
  • Pegamos, por exemplo, . Então:
    • Para , .
    • Além disso, .
  • Conclusão: aqui é contração em , então a iteração convergirá para a raiz .

Passo 4

b) psi'(x) = e^x-2
  • Derivada: psi'(alpha) = e^3.146-2 = e^1.146approx3.15 >1
  • No ponto aproximado ,
  • Se a derivada absoluta é maior que 1, já vimos que não dá pra ter contração. De fato, em qualquer intervalo que contenha , vai ter .
  • Conclusão: aqui não satisfaz o critério , então a iteração não converge (ou pode divergir).

Resposta

a) Converge (é mapeamento de contração em torno da raiz).
b) Não converge (derivada maior que 1, não é contração).

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