O problema para resolver pode ser resolvido num problema equivalente da forma . Para o processo iterativo definido por , analisar a convergência quando:
a)
b) .
Passo 1
Beleza, o problema é resolver
transformando em iteração de ponto-fixo
e aí checar se a sequência
converge. Isso entra nos métodos numéricos de ponto-fixo (ou métodos de iteração), e o que a gente precisa mesmo é do critério de contração: olhar e ver se num intervalo que contenha a raiz.
Passo 2
Primeiro, lembrando do teorema de ponto-fixo (conhecido também como Teorema do Contraction Mapping):
Se mapeia um intervalo em si mesmo, ou seja, .
Se existe tal que para todo .
Então, pra qualquer , a iteração converge para o único ponto-fixo .
Passo 3
a) psi'(x) = 1x
Derivada:
Escolhemos um intervalo que contenha a raiz aproximada . Observando e , a raiz está em torno de .
Pegamos, por exemplo, . Então:
Para , .
Além disso, .
Conclusão: aqui é contração em , então a iteração convergirá para a raiz .