Resolva a equação e^x-3 x=0 pelo método da iteração linear.

Passo 1

Beleza, a questão é: “Resolva a equação pelo método da iteração linear.”
Isso faz parte de “métodos numéricos”, mais especificamente de “iteração de ponto-fixo” (ou iteração linear).
O que vamos precisar:
  1. Reescrever como .
  2. Escolher uma função que converja.
  3. Verificar a condição de convergência .
  4. Iterar até estabilizar.

Passo 2

Reescrevendo a equação original:
e^x = 3x Longrightarrow x = e^x3
adicione g(x) = e^x3 nos dois lados e divida por 3:
Logo escolhemos

Passo 3

Antes de iterar, a gente confere a convergência:
g'(x) = ddxgl(e^x3gr) = e^x3
No ponto-fixo g'(x^*) = e^x^*3 = 3x^*3 = x^* vale , então
Como o resultado vai ficar entre 0 e 1 (a raiz está ali por volta de 0.6), teremos , ou seja, converge.

Passo 4

Vamos iterar. Escolho chute inicial xn+1 = g(xn) = e^xn3 .
A fórmula de iteração é:
Calculemos algumas iterações:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
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:
Percebe que os valores vão se aproximando de algo perto de 0.619.

Resposta

A iteração converge para
x approx 0.619

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