Determine todas as raízes da equação x^{3}-10.08667 x^{2}+31.75695 x-31.01692=0, com pelo menos 3 casas decimais exatas. Para isso, inicie pela primeira raiz positiva.
Primeira raiz positiva \square
Segunda raiz positiva \square
Terceira raiz \square

Passo 1

O enunciado pede para determinar as três raízes da equação
x^{3}-10.08667\,x^{2}+31.75695\,x-31.01692=0
com pelo menos três casas decimais exatas. O conteúdo envolve achar uma raiz real por um método numérico (Newton) e depois fazer divisão de polinômio para obter um fator quadrático, cujas raízes fechamos pela fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Vamos isolar a primeira raiz real positiva usando o Método de Newton. Definimos
f(x)=x^{3}-10.08667\,x^{2}+31.75695\,x-31.01692
f'(x)=3x^{2}-2\cdot10.08667\,x+31.75695.
Escolhemos ponto inicial x_{0}=1.95. Aplicando a iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
obtemos convergência rápida para
x_{1}\approx1.958249.
Arredondando para três casas decimais, a primeira raiz é
\boxed{1.958}.

Passo 3

Agora dividimos o polinômio original por \bigl(x-1.958249\bigr) para obter o quadrático restante. Pela divisão sintética chegamos ao polinômio
x^{2}-8.128421\,x+15.839292=0.

Passo 4

Para resolver
x^{2}-8.128421\,x+15.839292=0
calculamos o discriminante
\Delta =(-8.128421)^{2}-4\cdot15.839292\approx2.714325,
\sqrt{\Delta}\approx1.648092.
As duas raízes são
x=\frac{8.128421\pm1.648092}{2},
isto é
x_{2}\approx\frac{8.128421+1.648092}{2}=4.888256,\quad x_{3}\approx\frac{8.128421-1.648092}{2}=3.240165.
Arredondando para três casas decimais, as raízes são 4.888 e 3.240.

Resposta

Primeira raiz positiva \boxed{1.958}
Segunda raiz positiva \boxed{3.240}
Terceira raiz \boxed{4.888}

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