Determine todas as soluções reais de : x^2+x+1=156x^2+x.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra encontrar todos os valores reais de
x^2 + x + 1 ;=; 156x^2 + x
Estamos em uma parte de Equações Algébricas, mais especificamente resolvendo equações que envolvem frações (ou seja, precisamos cuidar do denominador e, às vezes, usar substituições). Para resolver isso, a gente vai:
  1. identificar o domínio (onde o denominador não vira zero),
  2. multiplicar pra eliminar a fração,
  3. usar uma substituição inteligente,
  4. resolver a quadrática resultante e voltar à variável .

Passo 2

Primeiro, o denominador é x neq 0 e x neq -1, então a gente precisa ter
(x^2+x+1)(x^2+x) ;=; 156
Senão a conta não faz sentido. Agora multiplica os dois lados da equação original por :

Passo 3

Para ficar mais tranquilo, faz uma substituição:
t = x^2+x
Aí a equação vira
(t + 1),t = 156 Longrightarrow t^2 + t - 156 = 0

Passo 4

Agora é só usar a fórmula de Bhaskara pra resolver
t^2 + t - 156 = 0
O discriminante é
De
logo
t = -1 pm raiz6252 = -1 pm 252,
que dá
t1 = -1 +252 = 12 e t2 = -1 -252 = -13

Passo 5

Volta pra variável x^2 + x - 12 = 0 . Temos dois casos:
  1. De.
    Isso é
    x^2 + x + 13 = 0,
    Usa Bhaskara de novo:
  2. .
    Isso vira
    cujo discriminante é
    , negativo.
    Logo não gera raiz real.

Resposta

As soluções reais da equação são
boxedx = 3 ou x = -4

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