Informações relevantes dadas pelo enunciado: \,A é uma matriz 3\times3 com um bloco 2\times2 no canto superior esquerdo e um valor 1 na posição (3,3).]
Passo 2
Primeiro preciso explicar o que cada norma significa (fórmulas e interpretação), para você levar isso pra prova:
essa é a norma induzida pela norma 1 de vetores: pega a maior soma das magnitudes das entradas por coluna. Aqui a_{ij} é a entrada da linha i e coluna j.
essa é a norma de Frobenius: raiz da soma dos quadrados de todas as entradas. Fácil de calcular na prova somando quadradinhos.
\|A\|_{2}=\sqrt{\lambda_{\max}(A^{T}A)}
essa é a norma espectral (induzida pela norma 2). Um fato muito útil quando A é simétrica (como é o nosso caso) é que A^{T}=A, logo A^{T}A=A^{2} e os valores singulares de A são os valores absolutos dos autovalores de A. Portanto, para matriz simétrica:
\|A\|_{2}=\max_{i}|\lambda_{i}(A)|
ou seja, basta achar os autovalores de A e tomar o maior em módulo. Aqui \lambda_{i}(A) são os autovalores de A.
Passo 3
Calcular \|A\|_{1} pelo procedimento direto (soma das colunas):
coluna 1:
\sum_{i=1}^{3}|a_{i1}|=|3|+|1|+|0|=3+1+0=4,
coluna 2:
\sum_{i=1}^{3}|a_{i2}|=|1|+|2|+|0|=1+2+0=3,
coluna 3:
\sum_{i=1}^{3}|a_{i3}|=|0|+|0|+|1|=0+0+1=1.
A maior soma de coluna é 4. Portanto
\|A\|_{1}=4.
Passo 4
Calcular \|A\|_{F} somando os quadrados das entradas e tirando a raiz:
as entradas não nulas são 3,1,1,2,1 (observe que o 1 aparece em (1,2), (2,1) e (3,3)).
Comparando em módulo, o maior é \dfrac{5+\sqrt{5}}{2} (valor aproximadamente 3{,}618), maior que 1 e que \dfrac{5-\sqrt{5}}{2} (aprox. 1{,}382). Portanto
\|A\|_{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}.
Passo 8
Como checagem rápida (útil na prova para confiar nos resultados), a soma dos quadrados dos autovalores (já que A é simétrica as singular values são |\lambda_i|) deve dar \|A\|_{F}^{2}. De fato: