Calcule
(""|\cdot|{1},""|\cdot|{2} \mathrm{e}""|\cdot|_{F}") para cada matriz.
(""\left[ \begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]"")

Passo 1

O enunciado pede para calcular as normas \|\cdot\|_{1}, \|\cdot\|_{2} e \|\cdot\|_{F} da matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 2 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\,A é uma matriz 3\times3 com um bloco 2\times2 no canto superior esquerdo e um valor 1 na posição (3,3).]

Passo 2

Primeiro preciso explicar o que cada norma significa (fórmulas e interpretação), para você levar isso pra prova:
\|A\|_{1}=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|
essa é a norma induzida pela norma 1 de vetores: pega a maior soma das magnitudes das entradas por coluna. Aqui a_{ij} é a entrada da linha i e coluna j.
\|A\|_{F}=\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}}=\sqrt{\operatorname{trace}(A^{T}A)}
essa é a norma de Frobenius: raiz da soma dos quadrados de todas as entradas. Fácil de calcular na prova somando quadradinhos.
\|A\|_{2}=\sqrt{\lambda_{\max}(A^{T}A)}
essa é a norma espectral (induzida pela norma 2). Um fato muito útil quando A é simétrica (como é o nosso caso) é que A^{T}=A, logo A^{T}A=A^{2} e os valores singulares de A são os valores absolutos dos autovalores de A. Portanto, para matriz simétrica:
\|A\|_{2}=\max_{i}|\lambda_{i}(A)|
ou seja, basta achar os autovalores de A e tomar o maior em módulo. Aqui \lambda_{i}(A) são os autovalores de A.

Passo 3

Calcular \|A\|_{1} pelo procedimento direto (soma das colunas):
coluna 1:
\sum_{i=1}^{3}|a_{i1}|=|3|+|1|+|0|=3+1+0=4,
coluna 2:
\sum_{i=1}^{3}|a_{i2}|=|1|+|2|+|0|=1+2+0=3,
coluna 3:
\sum_{i=1}^{3}|a_{i3}|=|0|+|0|+|1|=0+0+1=1.
A maior soma de coluna é 4. Portanto
\|A\|_{1}=4.

Passo 4

Calcular \|A\|_{F} somando os quadrados das entradas e tirando a raiz:
as entradas não nulas são 3,1,1,2,1 (observe que o 1 aparece em (1,2), (2,1) e (3,3)).
\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}=3^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+1^{2}=9+1+1+4+1=16.
Assim
\|A\|_{F}=\sqrt{16}=4.

Passo 5

Agora \|A\|_{2}. Como A é simétrica, \|A\|_{2}=\max|\lambda_{i}(A)|. Observando A como bloco:
A=\begin{pmatrix}B & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}\quad\text{com}\quad B=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
Os autovalores de A são os autovalores de B mais o autovalor 1 (do bloco 1).]

Passo 6

Calcular os autovalores de B. A característica de B é
\det(B-\lambda I)=\begin{vmatrix}3-\lambda & 1\\[4pt]1 & 2-\lambda\end{vmatrix}=(3-\lambda)(2-\lambda)-1.
Expandindo:
(3-\lambda)(2-\lambda)-1=\lambda^{2}-5\lambda+5.
Resolvendo \lambda^{2}-5\lambda+5=0 usando a fórmula quadrática:
\lambda=\frac{5\pm\sqrt{25-20}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}.
Portanto os autovalores de B são \dfrac{5+\sqrt{5}}{2} e \dfrac{5-\sqrt{5}}{2}.]

Passo 7

Assim os autovalores de A são
\lambda_{1}=\frac{5+\sqrt{5}}{2},\qquad \lambda_{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{2},\qquad \lambda_{3}=1.
Comparando em módulo, o maior é \dfrac{5+\sqrt{5}}{2} (valor aproximadamente 3{,}618), maior que 1 e que \dfrac{5-\sqrt{5}}{2} (aprox. 1{,}382). Portanto
\|A\|_{2}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}.

Passo 8

Como checagem rápida (útil na prova para confiar nos resultados), a soma dos quadrados dos autovalores (já que A é simétrica as singular values são |\lambda_i|) deve dar \|A\|_{F}^{2}. De fato:
\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}+1^{2}=15+1=16,
confirmando \|A\|_{F}=\sqrt{16}=4.

Resposta

\|A\|_{1}=4
\|A\|_{2}=\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}
\|A\|_{F}=4

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