Dada a seguinte tabela de valores
i 0 1 2 3 4 5
x_{i} -2 -1 0 1 2 3
p\left(x_{i}\right) -7 0 1 \alpha 9 28
sabendo que p(x) é um polinômio de grau 3 , determine \alpha

Passo 1

O enunciado fornece os valores de p(x) em seis pontos para um polinômio p de grau 3: \,x_{i}=-2,-1,0,1,2,3 e \,p(x_{i})=-7,0,1,\alpha,9,28.
Como um polinômio de grau 3 tem terceira diferença finita constante, vamos usar diferenças finitas para determinar \alpha.

Passo 2

Definimos a primeira diferença por \Delta y_i = p(x_{i+1}) - p(x_i). Calculando:
\Delta y_0 = 0 - (-7) = 7,\quad \Delta y_1 = 1 - 0 = 1,\quad \Delta y_2 = \alpha - 1,\quad \Delta y_3 = 9 - \alpha,\quad \Delta y_4 = 28 - 9 = 19

Passo 3

Definimos a segunda diferença por \Delta^2 y_i = \Delta y_{i+1} - \Delta y_i. Calculando:
\Delta^2 y_0 = 1 - 7 = -6,\quad \Delta^2 y_1 = (\alpha - 1) - 1 = \alpha - 2,\quad \Delta^2 y_2 = (9 - \alpha) - (\alpha - 1) = 10 - 2\alpha,\quad \Delta^2 y_3 = 19 - (9 - \alpha) = 10 + \alpha

Passo 4

Definimos a terceira diferença por \Delta^3 y_i = \Delta^2 y_{i+1} - \Delta^2 y_i. Calculando:
\Delta^3 y_0 = (\alpha - 2) - (-6) = \alpha + 4,\quad \Delta^3 y_1 = (10 - 2\alpha) - (\alpha - 2) = 12 - 3\alpha,\quad \Delta^3 y_2 = (10 + \alpha) - (10 - 2\alpha) = 3\alpha

Passo 5

Para um polinômio de grau 3 a terceira diferença é constante, logo
\alpha + 4 = 12 - 3\alpha
e
12 - 3\alpha = 3\alpha.
Da primeira equação segue
4\alpha = 8 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 2.
Verificando na segunda: 12 - 3\cdot2 = 6 = 3\cdot2, consistente.

Resposta

\alpha = 2

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