Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema:
l x1+x2+x3=3 2 x1+3 x2-x3=7 3 x1-x2+4 x3=10

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema 3×3:
Isso é conteúdo de Álgebra Linear—método de eliminação de Gauss. A ideia é usar operações elementares em linhas de uma matriz aumentada para zerar abaixo do “pivot” e depois voltar substituindo (substituição regressiva). Depois vamos repetir tudo com pivoteamento parcial, que é só escolher a maior entrada na coluna pra evitar divisão por números muito pequenos.

Passo 2

Eliminação sem pivoteamento
  1. Monta a matriz aumentada
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 3 2 & 3 & -1 & 7 3 & -1 & 4 & 10 ]
  1. Usa o 0 & 1 & -3 & 1 como pivot e anula 0 & -4 & 1 & 1 em R2 e R3:
  • R2 ← R2 − 2·R1 ⇒
    [ccc|c 1 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & -3 & 1 0 & -4 & 1 & 1 ]
  • R3 ← R3 − 3·R1 ⇒
    0 & 0 & -11 & 5
Agora a matriz é
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & -3 & 1 0 & 0 & -11 & 5 ]
  1. Pivot em , anula em R3:
  • R3 ← R3 + 4·R2 ⇒
    .
Ficou

Passo 3

Substituição regressiva (sem pivoteamento)
  1. Da última linha: x3 = -511
x2 = 1 + 3l(-tfrac511r) = -tfrac411
  1. Da segunda linha: x1 = 3 - x2 - x3 = 3 -l(-tfrac411r) -l(-tfrac511r) = tfrac4211
  1. Da primeira linha:

Passo 4

Eliminação com pivoteamento parcial
  1. Olha a coluna 1 nas 3 linhas: temos [ccc|c 3 & -1 & 4 & 10 2 & 3 & -1 & 7 1 & 1 & 1 & 3 ] . O maior é 3 (linha 3), então trocamos R1↔R3.
[ccc|c 3 & -1 & 4 & 10 0 & 11/3 & -11/3 & 1/3 0 & 4/3 & -1/3 & -1/3 ]
  1. Usa [ccc|c 3 & -1 & 4 & 10 0 & 11/3 & -11/3 & 1/3 0 & 0 & 1 & -5/11 ] como pivot:
  • R2 ← R2 − (2/3)R1 ⇒
  • R3 ← R3 − (1/3)R1 ⇒
Fica
  1. Na segunda coluna, o pivot é , maior que , então não trocamos. Anula em R3:
  • R3 ← R3 − R2 = R3 − (4/11)R2 ⇒
    .
Agora

Passo 5

Substituição regressiva (com pivoteamento)
  1. Da última linha:
  2. Da segunda:
    multiplica por 3 →
  3. Da primeira:

Resposta

(x1,,x2,,x3) = l(tfrac4211,,-tfrac411,,-tfrac511r)

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