Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema 3×3:
Isso é conteúdo de Álgebra Linear—método de eliminação de Gauss. A ideia é usar operações elementares em linhas de uma matriz aumentada para zerar abaixo do “pivot” e depois voltar substituindo (substituição regressiva). Depois vamos repetir tudo com pivoteamento parcial, que é só escolher a maior entrada na coluna pra evitar divisão por números muito pequenos.
Passo 2
Eliminação sem pivoteamento
- Monta a matriz aumentada
- Usa o
como pivot e anula0 & 1 & -3 & 1 em R2 e R3:0 & -4 & 1 & 1
- R2 ← R2 − 2·R1 ⇒
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & -3 & 1 0 & -4 & 1 & 1 ] - R3 ← R3 − 3·R1 ⇒
0 & 0 & -11 & 5
Agora a matriz é
- Pivot em
, anula em R3:
- R3 ← R3 + 4·R2 ⇒
.
Ficou
Passo 3
Substituição regressiva (sem pivoteamento)
- Da última linha:
⇒x3 = -511
- Da segunda linha:
⇒x1 = 3 - x2 - x3 = 3 -l(-tfrac411r) -l(-tfrac511r) = tfrac4211
- Da primeira linha:
⇒
Passo 4
Eliminação com pivoteamento parcial
- Olha a coluna 1 nas 3 linhas: temos
. O maior é 3 (linha 3), então trocamos R1↔R3.[ccc|c 3 & -1 & 4 & 10 2 & 3 & -1 & 7 1 & 1 & 1 & 3 ]
- Usa
como pivot:[ccc|c 3 & -1 & 4 & 10 0 & 11/3 & -11/3 & 1/3 0 & 0 & 1 & -5/11 ]
- R2 ← R2 − (2/3)R1 ⇒
- R3 ← R3 − (1/3)R1 ⇒
Fica
- Na segunda coluna, o pivot é
, maior que , então não trocamos. Anula em R3:
- R3 ← R3 −
R2 = R3 − (4/11)R2 ⇒
.
Agora
Passo 5
Substituição regressiva (com pivoteamento)
- Da última linha:
- Da segunda:
⇒
multiplica por 3 → →
- Da primeira:
⇒
⇒