Determine um valor aproximado para
usando a Regra dos Trapézios com 4 subdivisões e estime o erro na aproximação;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar um valor aproximado para
usando a Regra dos Trapézios com 4 subdivisões. - Estimar o erro dessa aproximação.
Informações dadas e fixas:
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da Regra dos Trapézios para
subdivisões iguais. Seja
o comprimento de cada subintervalo:
Se
são os nós e
, então a aproximação pelos trapézios é
Explicando as variáveis:
-
é a largura de cada trapézio; -
e são os valores da função nas extremidades; - os
intermediários entram sem fator porque cada um é somado por dois trapézios adjacentes.
Também precisamos da fórmula de estimativa do erro (cota superior) para a Regra dos Trapézios: existe
tal que
A cota em termos do máximo de
em
é
ou, substituindo
,
Vou usar essa cota para estimar o erro.
Passo 3
Calculemos
e os nós:
Os nós são
Agora os valores da função nos nós (faço as contas passo a passo):
Passo 4
Aplicando a fórmula do trapézio com
:
Substituindo
e os valores:
Calculo interno:
Somando:
Ou seja,
Passo 5
Para entender o erro, é útil conhecer o valor exato do integral (só para comparar). A primitiva de
é
, logo
Numericamente,
A diferença entre a aproximação e o valor exato (erro real) é
(Isto mostra que a aproximação superestimou o valor exato por cerca de
.)
Passo 6
Agora a estimativa (cota) do erro usando a fórmula com
. Primeiro calculemos
:
Em
a função
é positiva e decrescente (porque denominador cresce), então o máximo de
ocorre em
:
Agora aplicamos a cota
Substituindo
:
Portanto a cota teórica dá
Essa é uma estimativa segura (mas conservadora) do erro; o erro real
é bem menor que a cota.
Passo 7
Resumo prático para a prova:
- Calcule
e os valores nos nós; aplique a fórmula de . - Para estimar o erro use a fórmula com
e o máximo de no intervalo; isso dá uma cota garantida, mesmo que às vezes seja bem superior ao erro real.
Força aí — a conta é direta e você já tem o passo a passo para aplicar rápido na prova!