Determine um valor aproximado para \int_{0}^{4} \frac{1}{1+x} d x usando a Regra dos Trapézios com 4 subdivisões e estime o erro na aproximação;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar um valor aproximado para \int_{0}^{4} \frac{1}{1+x}\,dx usando a Regra dos Trapézios com 4 subdivisões.
  2. Estimar o erro dessa aproximação.
Informações dadas e fixas:
f(x)=\frac{1}{1+x},\qquad a=0,\qquad b=4,\qquad n=4.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da Regra dos Trapézios para n subdivisões iguais. Seja h o comprimento de cada subintervalo:
h=\frac{b-a}{n}.
Se x_0=x_a=a,\; x_1=a+h,\; \dots,\; x_n=b são os nós e f_i=f(x_i), então a aproximação pelos trapézios é
T_n = h\left(\frac{f_0+f_n}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f_i\right).
Explicando as variáveis:
  • h é a largura de cada trapézio;
  • f_0 e f_n são os valores da função nas extremidades;
  • os f_i intermediários entram sem fator 1/2 porque cada um é somado por dois trapézios adjacentes.
Também precisamos da fórmula de estimativa do erro (cota superior) para a Regra dos Trapézios: existe \xi \in (a,b) tal que
E_T = \int_a^b f(x)\,dx - T_n = -\frac{(b-a)}{12}\,h^2\,f''(\xi).
A cota em termos do máximo de |f''| em [a,b] é
|E_T|\le \frac{(b-a)}{12}\,h^2\,\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|
ou, substituindo h=(b-a)/n,
|E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,\max_{x\in[a,b]}|f''(x)|.
Vou usar essa cota para estimar o erro.

Passo 3

Calculemos h e os nós:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{4-0}{4}=1.
Os nós são
x_0=0,\; x_1=1,\; x_2=2,\; x_3=3,\; x_4=4.
Agora os valores da função nos nós (faço as contas passo a passo):
f(0)=\frac{1}{1+0}=1,
f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}=0,5,
f(2)=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}\approx 0,333333\ldots,
f(3)=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}=0,25,
f(4)=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}=0,2.

Passo 4

Aplicando a fórmula do trapézio com n=4:
T_4 = h\left(\frac{f_0+f_4}{2}+f_1+f_2+f_3\right).
Substituindo h=1 e os valores:
T_4 = 1\left(\frac{1+0,2}{2}+0,5+0,333333\ldots+0,25\right).
Calculo interno:
\frac{1+0,2}{2}=\frac{1,2}{2}=0,6,
0,5+0,333333\ldots+0,25=1,083333\ldots
Somando:
T_4 = 0,6 + 1,083333\ldots = 1,683333\ldots
Ou seja,
T_4 \approx 1,683333.

Passo 5

Para entender o erro, é útil conhecer o valor exato do integral (só para comparar). A primitiva de f(x)=\frac{1}{1+x} é \ln(1+x), logo
\int_{0}^{4}\frac{1}{1+x}\,dx=\left.\ln(1+x)\right|_{0}^{4}=\ln 5 - \ln 1=\ln 5.
Numericamente,
\ln 5 \approx 1,609437912\ldots
A diferença entre a aproximação e o valor exato (erro real) é
\text{erro real} = T_4 - \ln 5 \approx 1,683333\ldots - 1,609437912\ldots \approx 0,073895\ldots
(Isto mostra que a aproximação superestimou o valor exato por cerca de 0,0739.)

Passo 6

Agora a estimativa (cota) do erro usando a fórmula com f''. Primeiro calculemos f''(x):
f(x)=\frac{1}{1+x},\qquad f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^2},\qquad f''(x)=\frac{2}{(1+x)^3}.
Em [0,4] a função f''(x) é positiva e decrescente (porque denominador cresce), então o máximo de |f''| ocorre em x=0:
\max_{x\in[0,4]} |f''(x)| = f''(0)=\frac{2}{(1+0)^3}=2.
Agora aplicamos a cota
|E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,\max_{[a,b]}|f''(x)|.
Substituindo a=0,\; b=4,\; n=4,\; \max|f''|=2:
|E_T|\le \frac{4^3}{12\cdot 4^2}\cdot 2 = \frac{64}{12\cdot 16}\cdot 2 = \frac{64\cdot 2}{192}=\frac{128}{192}=\frac{2}{3}.
Portanto a cota teórica dá
|E_T|\le \frac{2}{3}\approx 0,666666\ldots
Essa é uma estimativa segura (mas conservadora) do erro; o erro real \approx 0,0739 é bem menor que a cota.

Passo 7

Resumo prático para a prova:
  • Calcule h e os valores f(x_i) nos nós; aplique a fórmula de T_n.
  • Para estimar o erro use a fórmula com f'' e o máximo de |f''| no intervalo; isso dá uma cota garantida, mesmo que às vezes seja bem superior ao erro real.
Força aí — a conta é direta e você já tem o passo a passo para aplicar rápido na prova!

Resposta

T_4 \approx 1,683333
|E_T|\le \dfrac{2}{3}

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