Considere a função \ln (x) tabelada nos pontos abaixo:
x 1 2 3
\ln (x) 0 0.6931 1.0986
a) Calcule a integral \int_{1}^{3} \ln (x) d x usando o método analítico.
b) Calcule a integral da função tabelada usando a regra 13 de Simpson. Qual é o erro de aproximação com relação a solução exata?

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com os valores de \ln(x) nos pontos x=1,2,3:
\begin{array}{c|ccc} x & 1 & 2 & 3 \\\ \hline \ln(x) & 0 & 0{,}6931 & 1{,}0986 \end{array}
As perguntas são:
a) Calcular \displaystyle \int_{1}^{3} \ln(x)\,dx usando método analítico.
b) Calcular a integral aproximada usando a regra 1 \frac{1}{3} de Simpson (regra “13” do enunciado) aplicando os valores tabelados, e determinar o erro de aproximação em relação à solução exata.

Passo 2

Vamos resolver a integral analiticamente. Para integrar \ln(x) usamos a fórmula de integração por partes. Vou explicar a fórmula de integração por partes de forma bem clara: se tivermos duas funções u(x) e v(x) suficientemente suaves, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para derivar (pois precisamos de du) e dv é aquilo que escolhemos para integrar (pois precisamos de v). A escolha deve simplificar a integral restante.

Passo 3

Aplicando integração por partes a \int \ln(x)\,dx. Escolhemos
u=\ln(x)\quad\text{e}\quad dv=dx.
Então
du=\frac{1}{x}\,dx\quad\text{e}\quad v=\int dv=\int dx = x.
Pela fórmula de integração por partes:
\int \ln(x)\,dx = u v - \int v\,du = x\ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(x) - \int 1\,dx.
A última integral é simples:
\int 1\,dx = x.
Portanto a primitiva é
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x) - x + C.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida de 1 a 3 usando a primitiva encontrada:
\int_{1}^{3} \ln(x)\,dx = \left[ x\ln(x) - x \right]_{1}^{3}.
Calculamos os extremos:
\left(3\ln(3) - 3\right) - \left(1\cdot\ln(1) - 1\right).
Como \ln(1)=0, isso fica
3\ln(3) - 3 - (0 - 1) = 3\ln(3) - 2.
Essa é a forma exata. Se quisermos um valor numérico, usamos \ln(3)\approx 1{,}098612289, então
3\ln(3) - 2 \approx 3\cdot 1{,}098612289 - 2 = 3{,}295836867 - 2 = 1{,}295836867.

Passo 5

Agora vamos aplicar a regra 1 \frac{1}{3} de Simpson para aproximar \int_{1}^{3} \ln(x)\,dx usando os valores da tabela. Primeiro explico a regra de Simpson: se temos um intervalo [a,b] subdividido em n=2 subintervalos iguais (Simpson padrão usa número par de subintervalos; aqui n=2), com pontos x_0=a, x_1, x_2=b e passo h=(b-a)/2, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl(f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)\bigr).
No nosso caso a=1, b=3, logo
h=\frac{3-1}{2}=1.

Passo 6

Vamos usar explicitamente os valores da tabela (peguei os dados da tabela fornecida): f(1)=\ln(1)=0, f(2)=\ln(2)=0{,}6931, f(3)=\ln(3)=1{,}0986. Substituindo na fórmula de Simpson:
\int_{1}^{3} \ln(x)\,dx \approx \frac{1}{3}\bigl( f(1) + 4f(2) + f(3)\bigr).
Calculando termo a termo:
4f(2)=4\cdot 0{,}6931 = 2{,}7724,
f(1)+4f(2)+f(3)=0 + 2{,}7724 + 1{,}0986 = 3{,}8710.
Dividindo por 3:
\text{Simpson} \approx \frac{3{,}8710}{3} = 1{,}290333333\ldots

Passo 7

Agora calculamos o erro de aproximação em relação à solução exata. Usamos o valor exato numérico obtido no Passo 4, \displaystyle 1{,}295836867 (valor aproximado de 3\ln(3)-2). O erro absoluto é
\text{erro absoluto} = \bigl|\text{Simpson} - \text{exato}\bigr| = \bigl|1{,}290333333 - 1{,}295836867\bigr|.
Fazendo a subtração:
\text{erro absoluto} \approx 0{,}005503534.
O sinal da diferença (Simpson menos exato) é negativo, ou seja, a aproximação de Simpson subestimou a integral por aproximadamente 0{,}005503534. O erro relativo (percentual) é
\text{erro relativo} = \frac{\text{erro absoluto}}{|\text{exato}|} \approx \frac{0{,}005503534}{1{,}295836867} \approx 0{,}004248 = 0{,}4248\%.

Passo 8

Resumo numérico (para decorar antes da prova): integral exata em forma simbólica e decimal, aproximação de Simpson com os dados da tabela, e erro absoluto/relativo. Lembre-se: Simpson com apenas três pontos costuma ser muito bom para funções suaves, mas como \ln(x) não é polinomial, sobra esse pequeno erro — ainda assim muito pequeno (cerca de quatro décimos de por cento). Força aí, você consegue aplicar isso rapidinho na prova!

Resposta

a) \displaystyle \int_{1}^{3}\ln(x)\,dx = 3\ln(3) - 2 \approx 1{,}295836867
b) Simpson (com os dados da tabela): \approx 1{,}290333333. Erro absoluto \approx 0{,}005503534 (erro relativo \approx 0{,}4248\%).

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