Considere a função \ln (x) tabelada nos pontos abaixo:
x
1
2
3
\ln (x)
0
0.6931
1.0986
a) Calcule a integral \int_{1}^{3} \ln (x) d x usando o método analítico.
b) Calcule a integral da função tabelada usando a regra 13 de Simpson. Qual é o erro de aproximação com relação a solução exata?
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com os valores de \ln(x) nos pontos x=1,2,3:
As perguntas são:
a) Calcular \displaystyle \int_{1}^{3} \ln(x)\,dx usando método analítico.
b) Calcular a integral aproximada usando a regra 1\frac{1}{3} de Simpson (regra “13” do enunciado) aplicando os valores tabelados, e determinar o erro de aproximação em relação à solução exata.
Passo 2
Vamos resolver a integral analiticamente. Para integrar \ln(x) usamos a fórmula de integração por partes. Vou explicar a fórmula de integração por partes de forma bem clara: se tivermos duas funções u(x) e v(x) suficientemente suaves, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para derivar (pois precisamos de du) e dv é aquilo que escolhemos para integrar (pois precisamos de v). A escolha deve simplificar a integral restante.
Passo 3
Aplicando integração por partes a \int \ln(x)\,dx. Escolhemos
Agora vamos aplicar a regra 1\frac{1}{3} de Simpson para aproximar \int_{1}^{3} \ln(x)\,dx usando os valores da tabela. Primeiro explico a regra de Simpson: se temos um intervalo [a,b] subdividido em n=2 subintervalos iguais (Simpson padrão usa número par de subintervalos; aqui n=2), com pontos x_0=a, x_1, x_2=b e passo h=(b-a)/2, então
Vamos usar explicitamente os valores da tabela (peguei os dados da tabela fornecida): f(1)=\ln(1)=0, f(2)=\ln(2)=0{,}6931, f(3)=\ln(3)=1{,}0986. Substituindo na fórmula de Simpson:
Agora calculamos o erro de aproximação em relação à solução exata. Usamos o valor exato numérico obtido no Passo 4, \displaystyle 1{,}295836867 (valor aproximado de 3\ln(3)-2). O erro absoluto é
O sinal da diferença (Simpson menos exato) é negativo, ou seja, a aproximação de Simpson subestimou a integral por aproximadamente 0{,}005503534. O erro relativo (percentual) é
Resumo numérico (para decorar antes da prova): integral exata em forma simbólica e decimal, aproximação de Simpson com os dados da tabela, e erro absoluto/relativo. Lembre-se: Simpson com apenas três pontos costuma ser muito bom para funções suaves, mas como \ln(x) não é polinomial, sobra esse pequeno erro — ainda assim muito pequeno (cerca de quatro décimos de por cento). Força aí, você consegue aplicar isso rapidinho na prova!
Resposta
a) \displaystyle \int_{1}^{3}\ln(x)\,dx = 3\ln(3) - 2 \approx 1{,}295836867
b) Simpson (com os dados da tabela): \approx 1{,}290333333. Erro absoluto \approx 0{,}005503534 (erro relativo \approx 0{,}4248\%).