(2,0) A tabela abaixo contém alguns valores da função f(x)=\frac{x \ln |x|}{\sqrt{1+x^{2}}}.
x -2 -1 -0.1 0.5 1 4 5
f(x) -0.6199 0 0.2291 -0.3099 0 1.3449 1.5782
Utilizando interpolação linear, determine valores aproximados para f(-0.3) e f(4.2).

Passo 1

O enunciado pede para, utilizando interpolação linear, encontrar valores aproximados para \,f(-0,3)\, e \,f(4,2)\,. A tabela fornecida contém, entre outros, os pares (x,f(x)) abaixo — estou pegando esses dados diretamente da tabela do enunciado:
(-1,\;0),\quad (-0{,}1,\;0{,}2291),\quad (4,\;1{,}3449),\quad (5,\;1{,}5782).
Também há outros pontos na tabela, mas para cada valor pedido vou usar os dois pontos da tabela que cercam (bracket) o x que queremos interpolar.

Passo 2

Explicando a interpolação linear de forma bem simples e prática: se você tem dois pontos conhecidos (x_0,y_0) e (x_1,y_1) e quer aproximar o valor y em um x entre x_0 e x_1, a fórmula da interpolação linear é
y \;=\; y_0 \;+\; (y_1-y_0)\,\frac{x-x_0}{x_1-x_0}.
Aqui:
  • \,x_0 e \,x_1 são as abscissas dos pontos conhecidos (com \,x_0<x_1),
  • \,y_0=f(x_0) e \,y_1=f(x_1) são as ordenadas conhecidas,
  • \,x é a abscissa onde queremos estimar y,
  • \frac{x-x_0}{x_1-x_0} é a fração do caminho de x_0 até x_1 onde se encontra x,
  • e (y_1-y_0) é o acréscimo total de y de x_0 até x_1. Multiplicando os dois obtemos quanto aumentará y ao ir de x_0 até x.
Um jeito mental: é desenhar a reta que liga os dois pontos e “andar” ao longo dessa reta até o x desejado.

Passo 3

Aplicando a fórmula para \,f(-0,3).
Escolho os pontos da tabela que cercam -0,3: \,x_0=-1 com \,y_0=0 e \,x_1=-0{,}1 com \,y_1=0{,}2291. (Escolhi esses porque -1 < -0{,}3 < -0{,}1; estes valores vem da tabela.)
Usando a fórmula:
f(-0{,}3)=y_0+(y_1-y_0)\frac{x-x_0}{x_1-x_0}.
Substituindo:
f(-0{,}3)=0 + (0{,}2291-0)\frac{-0{,}3-(-1)}{-0{,}1-(-1)}.
Calcule passo a passo:
y_1-y_0 = 0{,}2291,
x-x_0 = -0{,}3 - (-1) = 0{,}7,
x_1-x_0 = -0{,}1 - (-1) = 0{,}9.
A fração é
\frac{x-x_0}{x_1-x_0} = \frac{0{,}7}{0{,}9} = \frac{7}{9}\approx 0{,}777777\ldots
Multiplicando:
0{,}2291\cdot\frac{7}{9}=\frac{0{,}2291\cdot7}{9}=\frac{1{,}6037}{9}\approx 0{,}178188\ldots
Logo
f(-0{,}3)\approx 0{,}17819\\ (\text{arredondando}).
Para simplificar a leitura na prova, normalmente se usa f(-0{,}3)\approx 0{,}1782.

Passo 4

Aplicando a fórmula para \,f(4,2).
Escolho os pontos da tabela que cercam 4,2: \,x_0=4 com \,y_0=1{,}3449 e \,x_1=5 com \,y_1=1{,}5782. (Esses valores vêm da tabela.)
Usando a fórmula:
f(4{,}2)=y_0+(y_1-y_0)\frac{x-x_0}{x_1-x_0}.
Substituindo:
f(4{,}2)=1{,}3449 + (1{,}5782-1{,}3449)\frac{4{,}2-4}{5-4}.
Calcule passo a passo:
y_1-y_0 = 1{,}5782-1{,}3449 = 0{,}2333,
x-x_0 = 4{,}2-4 = 0{,}2,
x_1-x_0 = 5-4 = 1.
A fração é
\frac{x-x_0}{x_1-x_0} = \frac{0{,}2}{1} = 0{,}2.
Multiplicando:
0{,}2333\cdot 0{,}2 = 0{,}04666.
Somando:
f(4{,}2) \approx 1{,}3449 + 0{,}04666 = 1{,}39156.
Arredondando para um número prático: f(4{,}2)\approx 1{,}3916.

Passo 5

Resumo rápido e dica para a prova: para cada interpolação linear sempre identifique os dois pontos consecutivos da tabela que “abraçam” o x pedido; aplique a fórmula y=y_0+(y_1-y_0)\frac{x-x_0}{x_1-x_0}; faça as contas em ordem (diferenças, fração, multiplicação, soma). Se o intervalo entre pontos for pequeno (como entre 4 e 5 ou entre -1 e -0{,}1) a aproximação costuma ser boa. Vai dar certo — respira e calcula com calma!

Resposta

f(-0{,}3)\approx 0{,}1782
f(4{,}2)\approx 1{,}3916

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