Determine um valor aproximado para \int_{0}^{4} \frac{1}{1+x} d x usando a Regra 1 / 3 de Simpson com 4 subdivisões e estime o erro na aproximação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: aproximar o valor da integral \displaystyle \int_{0}^{4} \frac{1}{1+x}\,dx usando a Regra 1/3 de Simpson com 4 subdivisões, e estimar o erro dessa aproximação. As informações dadas são:
\text{integrando: } f(x)=\frac{1}{1+x},\qquad \text{intervalo: }[0,4],\qquad \text{número de subdivisões: } n=4.
Também temos implicitamente que as subdivisões são iguais, logo o passo (largura de cada subintervalo) será \displaystyle h=\frac{4-0}{4}=1.
Passo 2
Vou explicar de forma direta e prática a Regra 1/3 de Simpson composta, que é a que usamos quando temos n subintervalos com n par.
a soma com coeficiente 4 é sobre os nós de índice ímpar i=1,3,5,\dots;
a soma com coeficiente 2 é sobre os nós de índice par internos i=2,4,\dots,n-2.
Por que essa forma? Intuitivamente, Simpson aproxima o integrando em pares de subintervalos por parábolas (polinômios de grau ≤3 integrados exatamente), e compõe essas aproximações por todo o intervalo. Não precisa decorar além da fórmula: use-a passo a passo.
Passo 3
Calculemos os nós e os valores de f (vou usar frações para manter exatidão):