Determine um valor aproximado para \int_{0}^{4} \frac{1}{1+x} d x usando a Regra 1 / 3 de Simpson com 4 subdivisões e estime o erro na aproximação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: aproximar o valor da integral \displaystyle \int_{0}^{4} \frac{1}{1+x}\,dx usando a Regra 1/3 de Simpson com 4 subdivisões, e estimar o erro dessa aproximação. As informações dadas são:
\text{integrando: } f(x)=\frac{1}{1+x},\qquad \text{intervalo: }[0,4],\qquad \text{número de subdivisões: } n=4.úõ
Também temos implicitamente que as subdivisões são iguais, logo o passo (largura de cada subintervalo) será \displaystyle h=\frac{4-0}{4}=1.

Passo 2

Vou explicar de forma direta e prática a Regra 1/3 de Simpson composta, que é a que usamos quando temos n subintervalos com n par.
A Regra 1/3 composta diz:
S=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{\text{índices ímpares}} f(x_i)+2\sum_{\substack{\text{índices pares}\\\ i\ne0,n}} f(x_i)\Big).ííí
Aqui:
  • a=x_0 e b=x_n são os extremos do intervalo;
  • h=(b-a)/n é a largura de cada subintervalo;
  • os nós são x_i=a+i h para i=0,1,\dots,n;
  • a soma com coeficiente 4 é sobre os nós de índice ímpar i=1,3,5,\dots;
  • a soma com coeficiente 2 é sobre os nós de índice par internos i=2,4,\dots,n-2.
Por que essa forma? Intuitivamente, Simpson aproxima o integrando em pares de subintervalos por parábolas (polinômios de grau ≤3 integrados exatamente), e compõe essas aproximações por todo o intervalo. Não precisa decorar além da fórmula: use-a passo a passo.

Passo 3

Calculemos os nós e os valores de f (vou usar frações para manter exatidão):
h=1,\qquad x_0=0,\\ x_1=1,\\ x_2=2,\\ x_3=3,\\ x_4=4.
Os valores de f(x)=\dfrac{1}{1+x} nesses nós são
f(x_0)=f(0)=1,\quad f(x_1)=\frac{1}{2},\quad f(x_2)=\frac{1}{3},\quad f(x_3)=\frac{1}{4},\quad f(x_4)=\frac{1}{5}.

Passo 4

Aplique a fórmula de Simpson composta com n=4:
S=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_4)+4\big(f(x_1)+f(x_3)\big)+2f(x_2)\Big).
Substituindo os valores (em frações):
S=\frac{1}{3}\Big(1+\frac{1}{5}+4\Big(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Big)+2\cdot\frac{1}{3}\Big).
Calcule passo a passo as somas:
1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5},\qquad \frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4},\qquad 4\cdot\frac{3}{4}=3,\qquad 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Somando tudo:
\frac{6}{5}+3+\frac{2}{3}=\frac{18}{15}+\frac{45}{15}+\frac{10}{15}=\frac{73}{15}.
Então
S=\frac{1}{3}\cdot\frac{73}{15}=\frac{73}{45}.
Em decimal isso é
\frac{73}{45}\approx 1,622222\ldots

Passo 5

Para comparação e para poder calcular o erro real, calculemos a integral exata analiticamente (é simples):
\int_{0}^{4}\frac{1}{1+x}\,dx=\bigl.\ln(1+x)\bigr|_{0}^{4}=\ln 5-\ln 1=\ln 5.
Em decimal:
\ln 5\approx 1,609437912\ldots

Passo 6

Calculemos o erro real da aproximação (diferença entre aproximação e valor exato):
E_{\text{real}}=S-\ln 5=\frac{73}{45}-\ln 5\approx 1,622222\ldots-1,609437912\ldots\approx 0,0127843.
Ou seja, a aproximação de Simpson com n=4 superestima a integral por cerca de 0,01278.

Passo 7

Agora a estimativa teórica do erro (limite superior) para a Regra de Simpson composta. A fórmula de erro (bound) comum é
|E_S|\le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\, \max_{x\in[a,b]} \big|f^{(4)}(x)\big|.
Aqui:
  • a=0,\\ b=4, então b-a=4;
  • h=1 já calculado;
  • precisamos de f^{(4)}(x) e do máximo de seu módulo no intervalo.
Calculemos as derivadas de f(x)=(1+x)^{-1}. Observando o padrão (ou derivando passo a passo):
f'(x)=-1(1+x)^{-2},\quad f''(x)=2(1+x)^{-3},\quad f^{(3)}(x)=-6(1+x)^{-4},\quad f^{(4)}(x)=24(1+x)^{-5}.
O módulo \big|f^{(4)}(x)\big|=24(1+x)^{-5} é decrescente em x positivo, logo no intervalo [0,4] atinge o máximo em x=0:
\max_{[0,4]}\big|f^{(4)}(x)\big|=24.
Plugando tudo na fórmula de erro:
|E_S|\le \frac{4}{180}\cdot 1^{4}\cdot 24=\frac{96}{180}=\frac{8}{15}\approx 0,533333\ldots
Esse é um limite superior garantido pela teoria; ele costuma ser conservador (no nosso caso é bem maior que o erro real \approx 0,01278).

Resposta

\text{Aproximação (Simpson, }n=4\text{): }\displaystyle \frac{73}{45}\approx 1,622222\ldotsçã
\text{Estimativa do erro (bound teórico): }|E|\le \displaystyle \frac{8}{15}\approx 0,533333\ldotsó

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