Determine o valor de \lambda \in \mathbb{R} de modo que a equação matricial \left[\begin{array}{rr}1 & 5 \\\\ 2 & -1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]=\lambda\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right] admita mais de uma solução.
Passo 1
O enunciado dá a matriz A=\begin{bmatrix}1 & 5 \\[4pt] 2 & -1\end{bmatrix} e pede o(s) valor(es) de \lambda\in\mathbb{R} tais que a equação matricial
admita mais de uma solução. Informações relevantes dadas:
A matriz A é 2\times2 com entradas 1,5,2,-1 (peguei esses valores do enunciado).
A incógnita é o escalar \lambda real.
A pergunta exata: quais valores de \lambda fazem com que a equação tenha mais de uma solução (isto é, além da solução trivial x=y=0)?]
Passo 2
Entendendo o que “mais de uma solução” significa (aula rápida e prática).
A equação escrita é a forma matricial de (A-\lambda I)\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\end{bmatrix}, onde I é a matriz identidade 2\times2.
Sempre existe a solução trivial \begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\end{bmatrix}. Queremos que exista alguma solução não-trivial (algum vetor (x,y)\neq(0,0)).
Resultado-chave (explicado de forma simples): um sistema homogêneo M\mathbf{v}=\mathbf{0} tem soluções não-triviais se, e somente se, a matriz M for singular, isto é, tiver determinante zero. Para matrizes 2\times2 isso é especialmente simples de aplicar.
Portanto devemos impor
\det\bigl(A-\lambda I\bigr)=0.]
Passo 3
Escrevendo A-\lambda I explicitamente e lembrando a fórmula do determinante 2\times2.
A matriz identidade I é \begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix}, então
Ambas as soluções são reais, logo cada uma delas torna A-\lambda I singular e garante a existência de soluções não-triviais (infinitas soluções escalares múltiplas dos autovetores associados).