Determine o valor de \lambda \in \mathbb{R} de modo que a equação matricial \left[\begin{array}{rr}1 & 5 \\\\ 2 & -1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right]=\lambda\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right] admita mais de uma solução.

Passo 1

O enunciado dá a matriz A=\begin{bmatrix}1 & 5 \\[4pt] 2 & -1\end{bmatrix} e pede o(s) valor(es) de \lambda\in\mathbb{R} tais que a equação matricial
\begin{bmatrix}1 & 5 \\[4pt] 2 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\[4pt] y\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}x \\[4pt] y\end{bmatrix}
admita mais de uma solução. Informações relevantes dadas:
  • A matriz A é 2\times2 com entradas 1,5,2,-1 (peguei esses valores do enunciado).
  • A incógnita é o escalar \lambda real.
    A pergunta exata: quais valores de \lambda fazem com que a equação tenha mais de uma solução (isto é, além da solução trivial x=y=0)?]

Passo 2

Entendendo o que “mais de uma solução” significa (aula rápida e prática).
  • A equação escrita é a forma matricial de (A-\lambda I)\begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\end{bmatrix}, onde I é a matriz identidade 2\times2.
  • Sempre existe a solução trivial \begin{bmatrix}x\\[4pt]y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\end{bmatrix}. Queremos que exista alguma solução não-trivial (algum vetor (x,y)\neq(0,0)).
  • Resultado-chave (explicado de forma simples): um sistema homogêneo M\mathbf{v}=\mathbf{0} tem soluções não-triviais se, e somente se, a matriz M for singular, isto é, tiver determinante zero. Para matrizes 2\times2 isso é especialmente simples de aplicar.
    Portanto devemos impor
\det\bigl(A-\lambda I\bigr)=0.]

Passo 3

Escrevendo A-\lambda I explicitamente e lembrando a fórmula do determinante 2\times2.
  • A matriz identidade I é \begin{bmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{bmatrix}, então
A-\lambda I=\begin{bmatrix}1-\lambda & 5 \\[4pt] 2 & -1-\lambda\end{bmatrix}.
  • A fórmula do determinante de uma matriz \begin{bmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{bmatrix} é \det=\;ad-bc. Aqui a=1-\lambda, b=5, c=2, d=-1-\lambda.]

Passo 4

Calcule o determinante passo a passo (sem pular etapas).
\det\bigl(A-\lambda I\bigr)=(1-\lambda)(-1-\lambda)-5\cdot 2.
Primeiro expando o produto (1-\lambda)(-1-\lambda):
(1-\lambda)(-1-\lambda)=1\cdot(-1-\lambda)-\lambda\cdot(-1-\lambda)=-1-\lambda+\lambda+\lambda^2=\lambda^2-1.
Agora subtraio 5\cdot 2=10:
\det\bigl(A-\lambda I\bigr)=\lambda^2-1-10=\lambda^2-11.

Passo 5

Impondo a condição de singularidade e resolvendo a equação obtida.
\det\bigl(A-\lambda I\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2-11=0.
Isto é uma equação quadrática simples. Resolvendo,
\lambda^2=11 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm\sqrt{11}.
Ambas as soluções são reais, logo cada uma delas torna A-\lambda I singular e garante a existência de soluções não-triviais (infinitas soluções escalares múltiplas dos autovetores associados).

Resposta

\lambda=\sqrt{11}
\lambda=-\sqrt{11}

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