Determine \lambda \in \mathbb{R} de modo que o sistema abaixo não admita soluçāo diferente da trivial.
\left\{\begin{array}{l}\lambda x+y=0 \\\ x+\lambda y+z=0 \quad \lambda \in \mathrm{R}, \lambda \neq 0, \lambda \neq \sqrt{2} \quad \mathrm{e} \lambda \neq-\sqrt{2} \\\ y+\lambda z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema homogêneo
\begin{cases} \lambda x + y = 0,\\[4pt] x + \lambda y + z = 0,\\[4pt] y + \lambda z = 0, \end{cases}
com \lambda \in \mathbb{R} (e notas no enunciado que \lambda \neq 0, \lambda \neq \sqrt{2} e \lambda \neq -\sqrt{2}).
O que o problema pede: determinar os valores de \lambda para que o sistema não admita solução diferente da trivial (ou seja, para que a única solução seja x=y=z=0).
Informações relevantes do enunciado: as três equações lineares homogêneas acima e a variável parâmetro \lambda.]

Passo 2

Entendimento do objetivo e estratégia (sem calcular ainda).
Quando temos um sistema homogêneo linear do tipo A\mathbf{v}=\mathbf{0}, existe sempre a solução trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}. Para que NÃO exista solução diferente da trivial (isto é, para que a única solução seja a trivial) é necessário e suficiente que a matriz A seja invertível. Uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Portanto, nosso objetivo prático é: escrever a matriz dos coeficientes do sistema, calcular o determinante dessa matriz como função de \lambda e exigir que esse determinante seja diferente de zero. Vou explicar passo a passo como calcular o determinante e como interpretar o resultado.

Passo 3

Escrever a matriz de coeficientes. A ordem das incógnitas tomo como (x,y,z). A matriz A dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0\\[4pt] 1 & \lambda & 1\\[4pt] 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix}.
Cada linha corresponde a uma equação e cada coluna corresponde às incógnitas x, y, z.]

Passo 4

Definir o que vamos calcular: o determinante \det(A). Vou calcular \det(A) expandindo pela primeira linha (regra de Laplace), porque a primeira linha tem um zero que simplifica a conta. Lembre que ao expandir pela primeira linha:
\det(A)=a_{11}\,C_{11} + a_{12}\,C_{12} + a_{13}\,C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) é o cofator e M_{1j} é a menor obtida eliminando linha 1 e coluna j.

Passo 5

Calcular as menores e cofatores explicitamente.
  • Para a_{11}=\lambda: a menor M_{11} é a matriz 2\times2
M_{11}=\begin{pmatrix}\lambda & 1\\[4pt]1 & \lambda\end{pmatrix},
logo \det(M_{11})=\lambda\cdot\lambda - 1\cdot 1 = \lambda^2-1. O cofator C_{11}=(-1)^{2}\det(M_{11})=\lambda^2-1.
  • Para a_{12}=1: a menor M_{12} é
M_{12}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & \lambda\end{pmatrix},
logo \det(M_{12})=1\cdot\lambda - 1\cdot 0 = \lambda. O cofator C_{12}=(-1)^{1+2}\det(M_{12})=-\lambda.
  • Para a_{13}=0: não precisamos calcular pois a_{13}\cdot C_{13}=0.]

Passo 6

Substituir na expansão pela primeira linha:
\det(A)=\lambda\cdot(\lambda^2-1) + 1\cdot(-\lambda) + 0.
Agora simplifico passo a passo:
\det(A)=\lambda(\lambda^2-1)-\lambda = \lambda^3-\lambda-\lambda = \lambda^3-2\lambda.

Passo 7

Fatorar o determinante para achar suas raízes (valores de \lambda que anulam o determinante):
\det(A)=\lambda^3-2\lambda = \lambda(\lambda^2-2)=\lambda(\lambda-\sqrt{2})(\lambda+\sqrt{2}).
Da fatoração vemos claramente os zeros: \lambda=0, \lambda=\sqrt{2} e \lambda=-\sqrt{2}.

Passo 8

Interpretar o resultado em termos das soluções do sistema. Como dito no Passo 2, o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial exatamente quando \det(A)\neq 0. Portanto a condição para que NÃO exista solução diferente da trivial é:
\det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda\neq 0,\\ \lambda\neq \sqrt{2},\\ \lambda\neq -\sqrt{2}.
Observação amigável: se \lambda fosse um dos valores \{0,\pm\sqrt{2}\}, então \det(A)=0 e o sistema teria infinitas soluções não-triviais (porque é homogêneo e a matriz seria singular).

Resposta

\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0,\pm\sqrt{2}\}

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