Determine \lambda \in \mathbb{R} de modo que o sistema abaixo não admita soluçāo diferente da trivial. \left\{\begin{array}{l}\lambda x+y=0 \\\ x+\lambda y+z=0 \quad \lambda \in \mathrm{R}, \lambda \neq 0, \lambda \neq \sqrt{2} \quad \mathrm{e} \lambda \neq-\sqrt{2} \\\ y+\lambda z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema homogêneo
\begin{cases} \lambda x + y = 0,\\[4pt] x + \lambda y + z = 0,\\[4pt] y + \lambda z = 0, \end{cases}
com \lambda \in \mathbb{R} (e notas no enunciado que \lambda \neq 0, \lambda \neq \sqrt{2} e \lambda \neq -\sqrt{2}).
O que o problema pede: determinar os valores de \lambda para que o sistema não admita solução diferente da trivial (ou seja, para que a única solução seja x=y=z=0).
Informações relevantes do enunciado: as três equações lineares homogêneas acima e a variável parâmetro \lambda.]
Passo 2
Entendimento do objetivo e estratégia (sem calcular ainda).
Quando temos um sistema homogêneo linear do tipo A\mathbf{v}=\mathbf{0}, existe sempre a solução trivial \mathbf{v}=\mathbf{0}. Para que NÃO exista solução diferente da trivial (isto é, para que a única solução seja a trivial) é necessário e suficiente que a matriz A seja invertível. Uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Portanto, nosso objetivo prático é: escrever a matriz dos coeficientes do sistema, calcular o determinante dessa matriz como função de \lambda e exigir que esse determinante seja diferente de zero. Vou explicar passo a passo como calcular o determinante e como interpretar o resultado.
Passo 3
Escrever a matriz de coeficientes. A ordem das incógnitas tomo como (x,y,z). A matriz A dos coeficientes é
Cada linha corresponde a uma equação e cada coluna corresponde às incógnitas x, y, z.]
Passo 4
Definir o que vamos calcular: o determinante \det(A). Vou calcular \det(A) expandindo pela primeira linha (regra de Laplace), porque a primeira linha tem um zero que simplifica a conta. Lembre que ao expandir pela primeira linha:
Da fatoração vemos claramente os zeros: \lambda=0, \lambda=\sqrt{2} e \lambda=-\sqrt{2}.
Passo 8
Interpretar o resultado em termos das soluções do sistema. Como dito no Passo 2, o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial exatamente quando \det(A)\neq 0. Portanto a condição para que NÃO exista solução diferente da trivial é:
Observação amigável: se \lambda fosse um dos valores \{0,\pm\sqrt{2}\}, então \det(A)=0 e o sistema teria infinitas soluções não-triviais (porque é homogêneo e a matriz seria singular).