Pela regra de Cramer, resolva o sistema linear: \left\{\begin{array}{l}x+y=1 \\\ x-z=-2 \quad S=\{(-2,3,0)\} \\\ y-z=3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo (o enunciado também mostra um conjunto S\), que provavelmente contém a solução esperada):
\[\begin{cases} x+y=1\\[4pt] x-z=-2\\[4pt] y-z=3 \end{cases}
Dados relevantes extraídos do enunciado:
S=\{(-2,3,0)\}.
A tarefa é encontrar os valores de x\], \(y e z que satisfazem simultaneamente as três equações.]
Passo 2
O enunciado solicita aplicação da regra de Cramer, então vamos usá‑la. Primeiro, vou explicar a regra de Cramer de forma didática e passo a passo.
Regra de Cramer (explicação):
Seja A a matriz dos coeficientes do sistema linear e \mathbf{b} o vetor dos termos independentes. Para um sistema 3\times3,A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_1\\[2pt] b_2\\[2pt] b_3\end{pmatrix}.
Calcula‑se o determinante D=\det(A). Se D\neq 0, o sistema tem solução única dada porx=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},\qquad z=\frac{D_z}{D},onde D_x é o determinante da matriz obtida substituindo a 1.ª coluna de A por \mathbf{b}, D_y substitui a 2.ª coluna por \mathbf{b} e D_z substitui a 3.ª coluna por \mathbf{b}.
Para calcular determinantes 3\times3 vou usar a expansão pela primeira linha:\det(A)=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\[2pt] a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} -a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\[2pt] a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} +a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\[2pt] a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}.E cada determinante 2\times2 é \begin{vmatrix}p & q\\\ r & s\end{vmatrix}=ps-qr.]
Passo 3
Formamos a matriz dos coeficientes A e o vetor \mathbf{b} a partir do sistema. Observando as equações:
Fazendo uma checagem rápida (substituir na primeira equação): (-2)+3=1 OK; segunda: (-2)-0=-2 OK; terceira: 3-0=3 OK. Tudo confere com as equações originais.