Determine o valor numérico da soma abaixo
1raiz1+raiz2+1raiz2+raiz3+1raiz3+raiz4+cdots+1raiz99+raiz100

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente calcular a soma
1raiz1+raiz2+1raiz2+raiz3+cdots+1raiz99+raiz100
Isso envolve conteúdo de álgebra com radicais e a técnica de racionalização para depois ver que a soma “telescopa” (ou seja, muita coisa se cancela). Para resolver, vamos precisar:
  1. Racionalizar cada termo para eliminar o radical do denominador.
  2. Mostrar que a soma vira uma diferença de radicais que se cancelam em cadeia.

Passo 2

Começa com o termo genérico
1raizk+raizk+1
Para racionalizar, multiplicamos numerador e denominador por 1raizk+raizk+1;times;raizk+1-raizkraizk+1-raizk =raizk+1-raizk(raizk+1)^2 - (raizk)^2 . Assim:
(raizk+1)^2 - (raizk)^2 = (k+1) - k = 1
Na teoria, usamos a identidade 1raizk+raizk+1 = raizk+1 - raizk . Aqui o denominador vira
Então cada fração fica simplesmente

Passo 3

Agora, a soma original de sumk=1^99 (raizk+1 - raizk) até (raiz2-raiz1) + (raiz3-raiz2) + (raiz4-raiz3) + cdots + (raiz100-raiz99) fica
Esse é o truque de soma telescópica: escrevendo os primeiros termos,
Repare que aparece com sinal + no primeiro termo e com sinal – no segundo, e assim por diante. Quase tudo vai cancelando.

Passo 4

Depois do cancelamento, só sobra
-raiz1 + raiz100
Como 10 - 1 = 9 e , isso dá

Resposta

9

Exercícios relacionados