(AIME) Sejam
e
números reais com
e
. Determine
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos dois números reais
e
(com
) satisfazendo
O objetivo é achar
.
Aqui vamos usar:
Aqui vamos usar:
- fatoração de diferença e soma de cubos,
- divisão por
ou (já que eles não são zero), - identidades envolvendo
e .
Passo 2
Vamos subtrair as equações:
Na teoria, a diferença de cubos fatora assim:
Como
, dá para dividir por
e obtemos
Passo 3
Agora somamos as equações iniciais:
E a soma de cubos fatora por
Como
, dividindo por
vem
Passo 4
Temos então o sistema em
e
:
Se subtrair a segunda da primeira:
E, por exemplo na primeira,
Passo 5
Queremos
.
Uma identidade útil é
Uma identidade útil é
Mas também podemos usar
Substituindo
e
: