(AIME) Sejam x e y números reais com x neq pm y e lx^3=13 x+3 y y^3=13 y+3 x. Determine .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois números reais x^3=13x+3y, y^3=13y+3x e (com ) satisfazendo
O objetivo é achar .
Aqui vamos usar:
  • fatoração de diferença e soma de cubos,
  • divisão por ou (já que eles não são zero),
  • identidades envolvendo e .

Passo 2

Vamos subtrair as equações:
x^3 - y^3 ;=;(13x+3y);-;(13y+3x) ;Longrightarrow; x^3 - y^3 = 10(x-y)
Na teoria, a diferença de cubos fatora assim:
x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)
Como x^2 + xy + y^2 = 10 , dá para dividir por e obtemos

Passo 3

Agora somamos as equações iniciais:
x^3 + y^3 ;=; (13x+3y)+(13y+3x) ;=;16(x+y)
E a soma de cubos fatora por
x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)
Como x^2 - xy + y^2 = 16 , dividindo por vem

Passo 4

Temos então o sistema em x^2 + xy + y^2 = 10, x^2 - xy + y^2 = 16 e (x^2+xy+y^2)-(x^2-xy+y^2)=10-16 ;Longrightarrow; 2xy = -6 ;Longrightarrow; xy = -3 :
x^2+y^2 = 10 - xy = 10 - (-3) = 13
Se subtrair a segunda da primeira:
E, por exemplo na primeira,

Passo 5

Queremos (x^2-y^2)^2 = (x+y)^2,(x-y)^2 .
Uma identidade útil é
(x^2-y^2)^2 = (x^2+y^2)^2 - 4x^2y^2
Mas também podemos usar
(x^2-y^2)^2 = 13^2 - 4cdot(-3)^2 = 169 - 4cdot9 = 169 - 36 = 133
Substituindo e :

Resposta

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