Sejam a e b números reais positivos. Se a^2+2 a b+b^2=16 e a^3-b^3-3 a^2 b+3 a b^2=27. Podemos afirmar que2 cdot(2 cdot a+b) é ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz:
Temos a e b reais positivos que satisfazem
  1. a^2+2ab+b^2=16
  2. a^3-b^3-3a^2b+3ab^2=27
    A gente precisa encontrar 2cdot(2a+b).
    O assunto é manipulação algébrica: reconhecer quadrado perfeito e cubo de diferença, depois resolver um sistema simples. Vamos usar as fórmulas
  • (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
  • (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Passo 2

Olha só a primeira equação:
a^2+2ab+b^2=16
Mas isso é exatamente (a+b)^2 pela fórmula de quadrado perfeito. Então
(a+b)^2=16Longrightarrow a+b=4
(aqui escolhemos o sinal positivo porque a e b são positivos).

Passo 3

Agora a segunda:
a^3-b^3-3a^2b+3ab^2=27
Reescrevendo na ordem do cubo de diferença:
a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=27
E isso é exatamente (a-b)^3. Logo
(a-b)^3=27Longrightarrow a-b=3
(novamente, usamos a raiz real positiva).

Passo 4

Agora temos um sistema linear simples:
a+b=4, a-b=3
Somando as duas equações:
2a = (a+b)+(a-b)=4+3=7Longrightarrow a=72=3,5
Substituindo em a+b=4:
3,5 + b = 4Longrightarrow b=0,5

Passo 5

Falta só calcular 2cdot(2a+b):
2cdot(2a+b) =2l(2cdot3,5 + 0,5r) =2l(7 + 0,5r) =2 times 7,5 =15

Resposta

15

Exercícios relacionados