Determine o valor principal do argumento de: (o argumento \theta tal que -\pi<\theta \leq \pi)
3+3 i

Passo 1

O enunciado pede o valor principal do argumento (principal value of the argument) de 3+3i, ou seja, o ângulo \theta tal que -\pi<\theta\le\pi. Vamos usar a definição de argumento de um número complexo e lembrar que, em geral,
\arg(z)=\arctan\!\bigl(\tfrac{\Im(z)}{\Re(z)}\bigr)
ajustando o quadrante quando \Re(z) for negativa.

Passo 2

Identificamos, para z=3+3i, as partes real e imaginária:
\Re(z)=3 e \Im(z)=3. Como \Re(z)>0, não há deslocamento de quadrante além de usar diretamente o arco-tangente.

Passo 3

Aplicando a fórmula, obtemos
\theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{\Im(z)}{\Re(z)}\bigr) =\arctan\!\bigl(\tfrac{3}{3}\bigr) =\arctan(1).

Passo 4

Sabemos que \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4} e este valor está dentro de -\pi<\theta\le\pi. Portanto, ele é o valor principal do argumento de 3+3i.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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