Determine todos os valores das expressões dadas:
\ln e^{i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular todos os valores de \ln e^{i}. Aqui estamos lidando com logaritmo complexo, cuja definição geral é
\ln z = \ln|z| + i\,\Arg(z),
onde \Arg(z) é multivalorado: \Arg(z)=\theta+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Definimos z=e^{i}. Calculamos seu módulo e seu argumento multivalorado:
|z| = |e^{i}| = e^{\Re(i)} = e^{0} = 1,
e como e^{i}=\cos(1)+i\sin(1), seu argumento principal é 1 (radiano). Logo
\Arg(z)=1+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Aplicando a fórmula do logaritmo complexo:
\ln e^{i} = \ln|e^{i}| + i\,\Arg(e^{i}) = \ln(1) + i\,(1+2\pi k) = i + 2\pi i\,k,\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\boxed{\ln e^{i} = i + 2\pi i\,k,\quad k\in\mathbb{Z}.}

Exercícios relacionados