Aplicando a regra de Cramer, resolva os sistemas.
e) \left\{\begin{array}{l}x+2 y=5 \\ 2 x-3 y=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de Cramer o sistema
\begin{cases} x+2y=5,\\[4pt] 2x-3y=3. \end{cases}
Informações dadas (copiando do enunciado): as duas equações lineares e o objetivo é encontrar x e y. Não há nenhuma outra condição extra.]

Passo 2

O que é a regra de Cramer para um sistema 2\times2\). Considere o sistema genérico \[\begin{cases} a x + b y = e,\\[4pt] c x + d y = f. \end{cases}
Definimos os determinantes
D = ad - bc,
D_x = \begin{vmatrix} e & b \\[4pt] f & d \end{vmatrix} = e d - b f,
D_y = \begin{vmatrix} a & e \\[4pt] c & f \end{vmatrix} = a f - e c.
Se D \neq 0\], o sistema tem solução única dada por \[x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D}.\] Explicando as peças: \(a,b,c,d são os coeficientes das incógnitas; e,f são os termos constantes. O determinante D mede se as duas equações são linearmente independentes; se D=0 pode não existir solução única.]

Passo 3

Identificamos os coeficientes do sistema dado comparando com o caso genérico:
a=1,\quad b=2,\quad c=2,\quad d=-3,\quad e=5,\quad f=3.
Anotei cada número explicitamente para não me perder quando for calcular os determinantes.

Passo 4

Calculo do determinante principal D:
D = ad - bc = (1)\cdot(-3) - (2)\cdot(2).
Agora faço as multiplicações passo a passo:
(1)\cdot(-3) = -3,\qquad (2)\cdot(2)=4.
Subtraindo:
D = -3 - 4 = -7.

Passo 5

Calculo do determinante D_x (substituindo a primeira coluna pelos termos constantes):
D_x = \begin{vmatrix} e & b \\[4pt] f & d \end{vmatrix} = e d - b f = (5)\cdot(-3) - (2)\cdot(3).
Multiplico:
(5)\cdot(-3) = -15,\qquad (2)\cdot(3)=6.
Subtraindo:
D_x = -15 - 6 = -21.]

Passo 6

Calculo do determinante D_y (substituindo a segunda coluna pelos termos constantes):
D_y = \begin{vmatrix} a & e \\[4pt] c & f \end{vmatrix} = a f - e c = (1)\cdot(3) - (5)\cdot(2).
Multiplico:
(1)\cdot(3)=3,\qquad (5)\cdot(2)=10.
Subtraindo:
D_y = 3 - 10 = -7.]

Passo 7

Verificação da condição para aplicar Cramer: D=-7\neq 0. Então existe solução única. Agora aplico as fórmulas
x=\frac{D_x}{D}=\frac{-21}{-7},\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{-7}{-7}.
Faço as divisões:
x=\frac{-21}{-7}=3,\qquad y=\frac{-7}{-7}=1.
Bom trabalho — já estamos quase lá!

Passo 8

Cheque rápido (substituição nas equações originais) para ganhar confiança:
Primeira equação: x+2y = 3 + 2\cdot1 = 3+2 = 5 (confere).
Segunda equação: 2x-3y = 2\cdot3 - 3\cdot1 = 6-3 = 3 (confere).
Tudo certo — solução verificada.

Resposta

x=3
y=1

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