Determine o valor de e^{z} quando z vale:
-\frac{\pi i}{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \exp(z) quando
z = -\frac{\pi i}{4}.
O conteúdo envolvido é a fórmula de Euler para exponencial de número complexo.

Passo 2

Lembramos da fórmula de Euler: para todo real \theta,
e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\,\sin(\theta).

Passo 3

Podemos escrever
z = -\frac{\pi i}{4} = i\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr),
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e^{z} = e^{\,i(-\pi/4)} = \cos\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr) + i\,\sin\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr).

Passo 4

Sabemos que \cos(-\alpha)=\cos(\alpha) e \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha). Tomando \alpha=\pi/4, temos
\cos\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto,
e^{-\frac{\pi i}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2} \;-\; i\,\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

e^{-\frac{\pi i}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\,\frac{\sqrt{2}}{2}.

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