Determine o vetor solução dos seguintes sistemas lineares complexos:
l(1+i) x1+i x2+x3=1+4 i -x1-2 i x2+(1+2 i) x3=-1-2 i 2 x1+2 x2-x3=4-i

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema de 3 equações lineares com coeficientes complexos:
(1+i)x1 + i,x2 + x3 = 1+4i, -,x1 -2i,x2 + (1+2i),x3 = -1-2i, 2,x1 +2,x2 - x3 = 4 - i
Conteúdo: eliminação de Gauss em sistema de números complexos. Vamos precisar saber somar, multiplicar e dividir números complexos, além de usar as operações de linha (trocar, multiplicar e combinar equações) até isolar .

Passo 2

Primeiro, a gente facilita dividindo a primeira equação pelo pivô 11+i = 1-i2, . Como
x1 + 1+i2,x2 + 1-i2,x3 = 1+4i1+i = 5+3i2
temos
x1 + tfrac1+i2,x2 + tfrac1-i2,x3 = tfrac5+3i2
Agora a “linha 1” virou

Passo 3

Elimina x1 + tfrac1+i2x2 + tfrac1-i2x3 = tfrac5+3i2, 0 + tfrac1-3i2x2 + tfrac3+3i2x3 = tfrac3 - i2, 0 + (1 - i),x2 + (-2 + i),x3 = -1 - 4i nas linhas 2 e 3:
  • Linha 2 Linha 2 + Linha 1
  • Linha 3 Linha 3 – 2 × Linha 1
Depois dessas somas, você encontra:

Passo 4

Agora a gente deixa o pivô em x2 + -3+6i5,x3 = 3+4i5 na segunda equação igual a 1, dividindo tudo por (1 - i)x2 +(-2 + i)x3 = -1 -4i . Isso dá
A terceira fica

Passo 5

Elimina -13-4i5,x3 = -12 -21i5 da terceira:
Linha 3 Linha 3 – Linha 2.
Isso gera uma equação só em :

Passo 6

Aí é só resolver
(-13 -4i),x3 = -12 -21i Longrightarrow x3 = -12 -21i-13 -4i = 48+45i37

Passo 7

Substitui x2 = 3+4i5 ;-;-3+6i5,x3 = 105 - i37 de volta na equação de :

Passo 8

Por fim, volta na linha 1 para achar x1 = 5+3i2 -1+i2,x2 -1-i2,x3 = -7+5i37 :

Resposta

O vetor solução é
l(x1,,x2,,x3r) = l(-7+5i37,;105 - i37,;48+45i37r)

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