Determine o vetor solução dos seguintes sistemas lineares complexos:
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um sistema de 3 equações lineares com coeficientes complexos:
Conteúdo: eliminação de Gauss em sistema de números complexos. Vamos precisar saber somar, multiplicar e dividir números complexos, além de usar as operações de linha (trocar, multiplicar e combinar equações) até isolar
.
Passo 2
Primeiro, a gente facilita dividindo a primeira equação pelo pivô
11+i = 1-i2, . Como
temos
Agora a “linha 1” virou
Passo 3
Elimina
x1 + tfrac1+i2x2 + tfrac1-i2x3 = tfrac5+3i2, 0 + tfrac1-3i2x2 + tfrac3+3i2x3 = tfrac3 - i2, 0 + (1 - i),x2 + (-2 + i),x3 = -1 - 4i nas linhas 2 e 3:
- Linha 2
Linha 2 + Linha 1 - Linha 3
Linha 3 – 2 × Linha 1
Depois dessas somas, você encontra:
Passo 4
Agora a gente deixa o pivô em
x2 + -3+6i5,x3 = 3+4i5 na segunda equação igual a 1, dividindo tudo por
(1 - i)x2 +(-2 + i)x3 = -1 -4i . Isso dá
A terceira fica
Passo 5
Elimina
-13-4i5,x3 = -12 -21i5 da terceira:
Linha 3 Linha 3 –
Linha 2.
Isso gera uma equação só em :
Linha 3
Isso gera uma equação só em
Passo 6
Aí é só resolver
Passo 7
Substitui
x2 = 3+4i5 ;-;-3+6i5,x3 = 105 - i37 de volta na equação de
:
Passo 8
Por fim, volta na linha 1 para achar
x1 = 5+3i2 -1+i2,x2 -1-i2,x3 = -7+5i37 :
Resposta
O vetor solução é