Verifique se os seguintes sistemas de equações lineares são mal condicionados:
Passo 1
Beleza, então o enunciado é: “Verifique se o sistema
é mal condicionado.”
Esse assunto cai em “condicionamento de sistemas lineares”. Para resolver, a gente precisa:
Esse assunto cai em “condicionamento de sistemas lineares”. Para resolver, a gente precisa:
- montar a matriz dos coeficientes
e o vetor de termos independentes , - entender o que é número de condição
, - calcular
(usando uma norma, por exemplo a norma ), - ver se
é grande (nesse caso dizemos que é mal condicionado).
Passo 2
Primeiro, a matriz
e o vetor
são:
Teoria rápida:
- Um sistema
é “bem condicionado” se pequenos erros em (ou em ) causam pequenos erros na solução . - A medida disso é o número de condição
. Quanto maior , mais sensível o sistema, ou seja, mais “mal condicionado”.
Passo 3
A gente precisa de
. Primeiro o determinante de
:
Para matrizes
,
.
Aqui
,
,
,
, então
[
A^{-1}
= \frac{1}{-20}
]
Passo 4
Agora vamos usar a norma
, que é o máximo da soma dos valores absolutos em cada linha.
- Para
: - linha 1:
- linha 2:
Então.
- linha 1:
- Para
: - linha 1:
- linha 2:
Então.
- linha 1:
Passo 5
O número de condição fica
Em geral, se
é bem maior que 1 (por exemplo, dezenas, centenas ou milhares), dizemos que o sistema é mal condicionado — ele amplifica erros. Aqui
já é um valor relativamente alto para matrizes pequenas, então o sistema se comporta de forma sensível a pequenas variações nos dados.
Resposta
O número de condição
vale
. Como é bem maior que 1, sim, o sistema é considerado mal condicionado.