Verifique se os seguintes sistemas de equações lineares são mal condicionados:
l10 x+20 y=100 11 x+20 y=104

Passo 1

Beleza, então o enunciado é: “Verifique se o sistema
10x + 20y = 100, 11x + 20y = 104
é mal condicionado.”
Esse assunto cai em “condicionamento de sistemas lineares”. Para resolver, a gente precisa:
  1. montar a matriz dos coeficientes e o vetor de termos independentes ,
  2. entender o que é número de condição ,
  3. calcular (usando uma norma, por exemplo a norma ),
  4. ver se é grande (nesse caso dizemos que é mal condicionado).

Passo 2

Primeiro, a matriz A = 10 & 20 [6pt]11 & 20, b = 100 [3pt]104 e o vetor são:
Teoria rápida:
  • Um sistema é “bem condicionado” se pequenos erros em (ou em ) causam pequenos erros na solução .
  • A medida disso é o número de condição . Quanto maior , mais sensível o sistema, ou seja, mais “mal condicionado”.

Passo 3

A gente precisa de det(A) = 10cdot 20 ;-; 11cdot 20 ;=; (10-11),20 = -20 . Primeiro o determinante de d & -b -c & a:
A^-1 = 1-20 20 & -20 [3pt] -11 & 10 = -1 & 1 [3pt] 0,55 & -0,5
Para matrizes , .
Aqui , , , , então
[
A^{-1}
= \frac{1}{-20}

.
]

Passo 4

Agora vamos usar a norma , que é o máximo da soma dos valores absolutos em cada linha.
  • Para :
    • linha 1:
    • linha 2:
      Então .
  • Para :
    • linha 1:
    • linha 2:
      Então .

Passo 5

O número de condição fica
kappainfty(A) ;=; |A|infty ,|A^-1|infty ;=; 31 times 2 = 62
Em geral, se é bem maior que 1 (por exemplo, dezenas, centenas ou milhares), dizemos que o sistema é mal condicionado — ele amplifica erros. Aqui já é um valor relativamente alto para matrizes pequenas, então o sistema se comporta de forma sensível a pequenas variações nos dados.

Resposta

O número de condição vale . Como é bem maior que 1, sim, o sistema é considerado mal condicionado.

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