Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando os métodos eliminação de Gauss e decomposição LU.
c-x2+x3=1 x1+3 x3=3 2 x1+x2+3 x3=9

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra resolver o sistema
-,x2+x3=1, x1+3x3=3, 2x1+x2+3x3=9
usando (a) eliminação de Gauss e (b) decomposição LU.
Conteúdo: álgebra linear – sistema linear, matriz aumentada, operações de linha, fatoração LU (com pivoteamento).
Precisamos montar a matriz e o vetor , fazer operações de linha pra escalonar (Gauss) e depois fatorar em pra usar a decomposição.

Passo 2

Método da Eliminação de Gauss
  1. Escreve a matriz aumentada l[,Amid b,r] = 0 & -1 & 1 &mid&1 1 & 0 & 3 &mid&3 2 & 1 & 3 &mid&9 :
1 & 0 & 3 &mid&3 0 & -1 & 1 &mid&1 2 & 1 & 3 &mid&9
O pivô em (1,1) é zero, então trocamos a linha 1 com a linha 2 (operação de pivoteamento):
1 & 0 & 3 &mid&3 0 & -1 & 1 &mid&1 0 & 1 & -3 &mid&3
  1. Elimina 1 & 0 & 3 &mid&3 0 & -1 & 1 &mid&1 0 & 0 & -2 &mid&4 da linha 3 usando :
  1. Agora o pivô em (2,2) é . Elimina da linha 3 com :
  1. Resolução regressiva (back-substitution):
  • Da última linha: .
  • Da segunda: .
  • Da primeira: .

Passo 3

Decomposição LU (com pivoteamento parcial, ou seja, PLU)
  1. Definimos a permutação
P=0&1&01&0&00&0&1,
que troca linha 1 e linha 2. Então
PA = 1 & 0 & 3 0 & -1 & 1 2 & 1 & 3
  1. Agora fazemos eliminação sem mais trocas para obter L= 1&0&0 0&1&0 2&-1&1 , U= 1&0&3 0&-1&1 0&0&-2 , e .
  • . Elimina de : linha 3 linha 3 − 2·linha 1 ⇒ nova linha 3 é .
  • Pivô em é , e . Elimina: linha 3 linha 3 − (−1)·linha 2 ⇒ .
    Resultado:
com .
3) Para resolver fazemos , depois .
  • Primeiro .
  • Resolvendo (substituição à frente):
    y₁ = 3;
    y₂ = 1;
    2·y₁ −1·y₂ + y₃ = 9 ⇒ 6−1+y₃=9 ⇒ y₃=4.
  • Depois (substituição regressiva):
    ;
    ;
    .

Resposta

x₁ = 9, x₂ = −3, x₃ = −2.

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