Determine o vetor solução do sistema abaixo, utilizando o método de Gauss-Seidel. Faça o estudo da convergência usando o Critério de Sassenfeld.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver um sistema 3×3 usando o método iterativo de Gauss–Seidel, começando de
x^(0) = 000, varepsilon<10^-2,
e antes de iterar a gente deve checar se o método converge, usando o Critério de Sassenfeld.
Conteúdo: numérica (métodos iterativos para sistemas lineares).
O que precisamos:
1. Montar as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel.
2. Calcular os coeficientes de Sassenfeld (β₁,β₂,β₃) e ver se max βᵢ<1.
3. Se convergir, iterar até ‖x(k+1)−x(k)‖<ε; se não, dizer que não converge.
Passo 2
Estudo de convergência (Critério de Sassenfeld):
Para um sistema betai = 1|aii|l(sumj=1^i-1|aij|betaj ;+;sumj=i+1^n|aij|r) com entradas A= -1 & 6 & -1 6 & -1 & -1 -1 & -1 & -6 , b=3211,3342 , define-se
max(beta1,beta2,beta3)=43>1,
Aqui e são
Vamos calcular:
O critério diz que, se , garante convergência. Aqui
logo NÃO há garantia de convergência.
Passo 3
Como o critério de Sassenfeld falhou ( x1^(k+1) = 6,x2^(k) - x3^(k) - 32,[6pt] x2^(k+1) = 6,x1^(k+1) - x3^(k) - 11,33,[6pt] x3^(k+1) = -42 + x1^(k+1) + x2^(k+1)6 ), o Gauss–Seidel pode divergir. Pra ilustrar, veja a 1ª iteração:
As fórmulas de iteração são, da ordem x1^(1)=-32, x2^(1)=-203,33, x3^(1)approx32,22 , depois , depois :
Com :
Já explode, e as diferenças crescem em vez de diminuir, então o método diverge.
Resposta
O critério de Sassenfeld dá , portanto o método de Gauss–Seidel não converge para esse sistema (as iterações divergem).