Durante o processo de soldagem de uma viga de aço, a temperatura T(t) em um ponto específico varia de acordo com o tempo t, e é modelada pela seguinte função:
T(t)=1500 e^-0,03 t cos (0,1 t)
Se T(t) está expresso em graus Celsius e o tempo em minutos, calcular a taxa de variação da temperatura quando t é de 10 minutos.

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo? A gente tem uma temperatura que varia no tempo dada por
T(t)=1500,e^-0,03tcos(0,1t)
onde está em graus Celsius e em minutos.
Conteúdo: cálculo de derivada usando regra do produto e regra da cadeia.
Objetivo: achar a taxa de variação da temperatura quando , ou seja, calcular .

Passo 2

Vamos derivar f(t)=1500,e^-0,03t, g(t)=cos(0,1t) . Note que é produto de duas funções de l(fgr)' = f',g + f,g' :
f'(t)=1500cdot(-0,03)e^-0,03t=-45,e^-0,03t
Regra do produto diz
g'(t)=-sin(0,1t)times0,1 = -0,1,sin(0,1t)
  1. Derivada de T'(t)=f'(t),g(t) + f(t),g'(t) = l(-45e^-0,03tr)cos(0,1t) + l(1500e^-0,03tr)l(-0,1sin(0,1t)r) .
    • Primeiro usamos regra da cadeia: se T'(t) = e^-0,03tl[-45cos(0,1t) - 150sin(0,1t)r] , então .
    • Aqui .
    • Logo
  2. Derivada de .
    • De novo cadeia: se , então .
    • E .
    • Logo
  3. Agora aplicamos produto:
Podemos fatorar :
(Observe que .)

Passo 3

Agora é só botar T'(10) = e^-0,3l[-45cos(1) -150sin(1)r], :
  1. T'(10) approx 0,740818l[-45times0,540302 ;-;150times0,841471r] .
  2. -45times0,540302 approx -24,3136, -150times0,841471 approx -126,2207, .
  3. T'(10)approx 0,740818 times (-150,5343) approx -111,6 .
Substituindo em
temos
Calculemos o que tá dentro do colchete:
soma = .
Então

Resposta

A taxa de variação da temperatura aos 10 minutos é aproximadamente
boxedT'(10)approx -111,6 °C/min

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