Determine os volumes máximos de uma caixa retangular sem tampa que pode ser construída com 1500 cm^2 de papelão.

Passo 1

Beleza, então o problema é: “A gente quer fazer uma caixinha retangular sem tampa usando 1500 cm² de papelão. Quais dimensões dão o maior volume possível?” Isso cai em otimização com cálculo diferencial. Vamos precisar:
  1. A fórmula da área de uma caixa sem tampa,
  2. A fórmula do volume,
  3. Derivar o volume em função de uma única variável,
  4. Igualar a derivada a zero pra achar o ponto crítico,
  5. Checar que é máximo e calcular o valor.

Passo 2

Primeiro, defina:
  • A = área da base + área das 4 faces laterais = x y + 2(xz + yz) = x y + 2z(x + y) = largura da base (cm)
  • V = x,y,z = comprimento da base (cm)
  • = altura da caixa (cm)
A área total de papelão (sem tampa) é
áá
Sabemos que cm².
O volume da caixa é

Passo 3

Para facilitar, observe que no máximo simétrico costuma dar 1500 = x^2 + 2z,(x + x) = x^2 + 4xz Longrightarrow z = 1500 - x^24x (a base quadrada). Então assuma V(x) = x^2 cdot 1500 - x^24x = 1500x - x^34 . Aí:
Substituindo em , fica

Passo 4

Pra achar o máximo, derivamos V'(x) = 14,(1500 - 3x^2) = 0 Longrightarrow 1500 - 3x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = 500 Longrightarrow x = raiz500 = 10raiz5 cm e igualamos a zero:
z = 1500 - (10raiz5)^24,(10raiz5) = 1500 - 50040raiz5 = 100040raiz5 = 25raiz5 = 5raiz5 cm
A gente verifica (pela segunda derivada ou olhar o sinal) que isso dá máximo.
Então a base é quadrada de lado . E a altura

Passo 5

Agora o volume máximo:
Vmax = x^2,z = (10raiz5)^2 cdot (5raiz5) = 500 cdot 5raiz5 = 2500raiz5 cm^3

Resposta

A caixa de maior volume é aquela com base quadrada de lado boxedVmax = 2500raiz5 cm^3, cm e altura cm, gerando

Exercícios relacionados