Determine os volumes máximos de uma caixa retangular sem tampa que pode ser construída com
de papelão.
Passo 1
Beleza, então o problema é: “A gente quer fazer uma caixinha retangular sem tampa usando 1500 cm² de papelão. Quais dimensões dão o maior volume possível?” Isso cai em otimização com cálculo diferencial. Vamos precisar:
- A fórmula da área de uma caixa sem tampa,
- A fórmula do volume,
- Derivar o volume em função de uma única variável,
- Igualar a derivada a zero pra achar o ponto crítico,
- Checar que é máximo e calcular o valor.
Passo 2
Primeiro, defina:
-
= largura da base (cm) -
= comprimento da base (cm) -
= altura da caixa (cm)
A área total de papelão (sem tampa) é
Sabemos que
cm².
O volume da caixa é
Passo 3
Para facilitar, observe que no máximo simétrico costuma dar
(a base quadrada). Então assuma
. Aí:
Substituindo em
, fica
Passo 4
Pra achar o máximo, derivamos
e igualamos a zero:
A gente verifica (pela segunda derivada ou olhar o sinal) que isso dá máximo.
Então a base é quadrada de lado
. E a altura
Passo 5
Agora o volume máximo:
Resposta
A caixa de maior volume é aquela com base quadrada de lado
cm e altura
cm, gerando