Use a regra da cadeia para determinar partial zpartial t ou partial wpartial t
z=x^2 y+x y^2 ; x=2+t^4 ; y=1-t^3

Passo 1

Beleza, olha o que temos:
Queremos a derivada de
z = x^2y + x y^2
em que
x = 2 + t^4 e y = 1 - t^3
Isso é um clássico de Regra da Cadeia em funções de várias variáveis: a matéria é Derivadas Parciais + Regra da Cadeia. Vamos precisar
  1. das derivadas parciais de em relação a e ,
  2. das derivadas de e em relação a ,
  3. aplicar a fórmula

Passo 2

Primeiro, calcula as derivadas parciais de partial zpartial x = partialpartial xl(x^2y + x y^2r) = 2x,y ;+; y^2 .
  • Para partial zpartial y = partialpartial yl(x^2y + x y^2r) = x^2 ;+; 2x,y , trata como constante e aplica regra do produto/potência:
  • Para , trata como constante:

Passo 3

Agora as derivadas de dxdt = ddt(2 + t^4) = 4,t^3, dydt = ddt(1 - t^3) = -3,t^2 e em relação a :

Passo 4

Aplica a Regra da Cadeia:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt
Substituindo as derivadas parciais e as de dzdt = l(2x,y + y^2r),(4t^3) ;+;l(x^2 + 2x,yr),(-3t^2) :

Passo 5

Basta agora colocar dzdt = 4t^3l[2(2+t^4)(1 - t^3) + (1 - t^3)^2r] ;-;3t^2l[(2+t^4)^2 + 2(2+t^4)(1 - t^3)r] e :

Passo 6

Se quiser, dá para expandir tudo em potência de , mas a forma acima já é a nossa resposta enxuta, expressa só em função de .

Resposta

boxed dzdt = 4t^3l[2(2+t^4)(1 - t^3) + (1 - t^3)^2r] ;-;3t^2l[(2+t^4)^2 + 2(2+t^4)(1 - t^3)r]

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