Use a regra da cadeia para determinar partial zpartial t ou partial wpartial t
w=x y+y z^2 x=e^t ; y=e^t cdot sen t ; z=e^t cdot cos t

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é: usar a regra da cadeia pra achar
partial wpartial t
onde
w = x,y + y,z^2, x = e^t, y = e^tsin t, z = e^tcos t
O conteúdo aqui é:
  • Derivada parcial (como varia se mudam)
  • Regra da cadeia multivariável:

    Pra resolver, vamos precisar de:
  1. .
  2. .
  3. Montar a soma da regra da cadeia e simplificar.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de :
  • .

Passo 3

Calcular as derivadas de em relação a :


Passo 4

Agora é só encaixar na regra da cadeia:
partial wpartial t = wx,dxdt + wy,dydt + wz,dzdt
Substituindo:
partial wpartial t &= ycdot e^t + (x+z^2)cdot e^t(sin t + cos t) + (2y z)cdot e^t(cos t - sin t)
E lembrando , a gente pode organizar tudo em potências de e trigonométricos.

Resposta

boxed partial wpartial t = e^2t,l(2sin t+cos tr) +e^3t,l(cos^3t+3sin tcos^2t-2sin^2tcos tr)
Essa é a expressão final, toda em função de .

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