Determine o zero da função, f(x)= e^x+2^-x+2 cos (x)-6, utilizando o Método de Newton, no intervalo [1,2] para 5 iterações com arredondamento padrão.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente encontrar o zero da função
f(x)=e^x + 2^-x +2cos(x)-6
no intervalo usando o Método de Newton em 5 iterações.
Conteúdo: método de Newton para achar raízes de equações.
O que vamos precisar:
  • A fórmula do método de Newton
  • A derivada
  • Um chute inicial dentro de [1,2]
  • Calcular 5 vezes, arredondando normalmente a cada resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de
f(x)=e^x + 2^-x +2cos(x)-6
  1. Derivada de f'(x)=e^x ;-;ln(2),2^-x;-;2sin(x) é xn+1=xn - f(xn)f'(xn) .
  2. Derivada de é .
  3. Derivada de é .
    Logo
E a fórmula do Método de Newton é

Passo 3

Escolhemos um chute inicial f(1.5)=e^1.5+2^-1.5+2cos(1.5)-6approx -1.023283, (o meio do intervalo).
Agora calculamos
f'(1.5)=e^1.5-ln(2),2^-1.5-2sin(1.5)approx 2.240972
x1 = 1.5 - -1.0232832.240972 approx 1.956713
Aplicando Newton:

Passo 4

Segunda iteração ( f(1.956713)approx 0.557933, f'(1.956713)approx 5.046502, ):
x2 = 1.956713 - 0.5579335.046502 approx 1.846159

Passo 5

Terceira iteração ( f(1.846159)approx 0.073200, f'(1.846159)approx 4.221600, ):
x3 = 1.846159 - 0.0732004.221600 approx 1.828817

Passo 6

Quarta iteração ( f(1.828817)approx -0.002660, f'(1.828817)approx 4.098780, ):
x4 = 1.828817 - -0.0026604.098780 approx 1.829466

Passo 7

Quinta iteração ( f(1.829466)approx -0.001000, f'(1.829466)approx 4.102210, ):
x5 = 1.829466 - -0.0010004.102210 approx 1.829710

Resposta

Após 5 iterações, o zero aproximado de boxedx approx 1.829710 é

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