Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= x-12 sen(x2), no intervalo I=[-1,1].
a) Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a raiz de

no intervalo f(x)=x-tfrac12sen!l(tfrac x2r) usando o método iterativo linear (também conhecido como método do ponto-fixo).
Conteúdo/matéria:
1) Método do ponto-fixo: reescrever como .
2) Condição de convergência: no intervalo.
3) Iterar até a iteração desejada.
O que vamos precisar:
- Definir a partir de .
- Calcular e mostrar que .
- Escolher um chute inicial .
- Executar 5 iterações, truncando em 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, se queremos x-tfrac12sen!l(tfrac x2r)=0 Longrightarrow x=tfrac12sen!l(tfrac x2r):
Então definimos
Agora a derivada:
g(x)=12sen!l( x2r)
No nosso intervalo g'(x) =12cdotcos!l( x2r)cdot12 =14cos!l( x2r) , temos
|g'(x)|<=14cdot1=0,25<1 varia entre e ,
logo
Isso garante que é uma contração em e o método converge.

Passo 3

Vamos escolher xn+1=g(xn) =tfrac12sen!l(tfracxn2r), (qualquer valor em serve, e é fácil de calcular).
A regra de iteração é
sempre truncando o resultado a 4 casas decimais.

Passo 4

Vamos às 5 iterações:
Todos os valores foram truncados a quatro casas decimais.

Resposta

Aproximando em 4 casas decimais, após 5 iterações obtemos
boxedx5approx0,0009,
ou seja, a raiz aproximada de no intervalo é .

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