Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= x^3+x-100, no intervalo I=[4,5].
a) Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.
b) Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar a raiz de
f(x)=x^3+x-100
no intervalo [4,5] usando o método iterativo linear (ou “fixed‐point iteration”).
Conteúdo: método de ponto‐fixo.
O que vamos precisar:
1) transformar f(x)=0 numa forma x=g(x);
2) verificar se g é contração (avaliar g'(x));
3) iterar xn+1=g(xn) 5 vezes, truncando a 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, achar g(x). Da equação
x^3 + x -100 = 0
isolamos x:
x^3 = 100 - x ;;Longrightarrow;; x = raiz[3],100 - x,
Logo definimos
g(x) = raiz[3],100 - x,
Agora a derivada:
g'(x) = ddxl((100 - x)^1/3r) = -tfrac13,(100 - x)^-2/3
No intervalo xin[4,5], 100-xin[95,96], então
|g'(x)| = 13,(100-x)^2/3 <= 13cdot 95^2/3 < 1
Isso garante convergência (é contração).

Passo 3

Escolhemos ponto inicial x0=4.0000 (início do intervalo).
A regra de iteração é
xn+1 = g(xn) = raiz[3],100 - xn,
Lembrando: a cada passo truncamos o resultado a 4 casas decimais (ou seja, cortamos dígitos extras, sem arredondar).

Passo 4

Vamos calcular até n=5:
  1. x0 = 4.0000
  2. x1 = raiz[3]100 - 4.0000 = raiz[3]96 approx 4.577226;to;4.5772
  3. x2 = raiz[3]100 - 4.5772 = raiz[3]95.4228 approx 4.56936;to;4.5693
  4. x3 = raiz[3]100 - 4.5693 = raiz[3]95.4307 approx 4.56942;to;4.5694
  5. x4 = raiz[3]100 - 4.5694 = raiz[3]95.4306 approx 4.56942;to;4.5694
  6. x5 = raiz[3]100 - 4.5694 = raiz[3]95.4306 approx 4.56942;to;4.5694
Você vê que a partir de x3 já não muda quando truncamos a 4 casas.

Resposta

Depois de 5 iterações, a raiz aproximada (truncada a 4 casas decimais) é
boxedx approx 4.5694

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