Resolva as equações diofantinas, caso exista solução:
.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente resolver a equação diofantina
Conteúdo: equações diofantinas lineares, que têm a ver com máximo divisor comum (mdc) e o algoritmo de Euclides estendido.
O que precisamos:
1) Calcular
2) Usar o algoritmo estendido de Euclides pra achar uma solução de
3) Aí gerar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos achar
pelo algoritmo de Euclides:
54 = 17·3 + 3
17 = 3·5 + 2
3 = 2·1 + 1
2 = 1·2 + 0
Quando sobra 0, o resto anterior (1) é o mdc. Então
54 = 17·3 + 3
17 = 3·5 + 2
3 = 2·1 + 1
2 = 1·2 + 0
Quando sobra 0, o resto anterior (1) é o mdc. Então
Como
Passo 3
Agora precisamos do algoritmo estendido pra escrever
como combinação linear de 17 e 54. Voltando os passos:
- Da penúltima linha:
. - Mas
, então
3) E, logo
Isso mostra
Para chegar em 8, multiplica tudo por 8:
Então uma solução particular é
Passo 4
A forma geral das soluções de
vem da teoria: se
com
Resposta
As soluções inteiras são