Resolva as equações diofantinas, caso exista solução:
17 X+54 Y=8.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente resolver a equação diofantina
17X + 54Y = 8
Conteúdo: equações diofantinas lineares, que têm a ver com máximo divisor comum (mdc) e o algoritmo de Euclides estendido.
O que precisamos:
1) Calcular gcd(17,54) pra ver se divide 8.
2) Usar o algoritmo estendido de Euclides pra achar uma solução de 17X+54Y=1 e depois multiplicar por 8.
3) Aí gerar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos achar gcd(17,54) pelo algoritmo de Euclides:
54 = 17·3 + 3
17 = 3·5 + 2
3 = 2·1 + 1
2 = 1·2 + 0
Quando sobra 0, o resto anterior (1) é o mdc. Então
gcd(17,54)=1
Como 1 divide 8, sabemos que existe solução pra 17X+54Y=8.

Passo 3

Agora precisamos do algoritmo estendido pra escrever 1 como combinação linear de 17 e 54. Voltando os passos:
  1. Da penúltima linha: 1 = 3 - 2cdot1.
  2. Mas 2 = 17 - 3cdot5, então 1 = 3 - (17 - 3cdot5) = 3cdot6 - 17
    3) E 3 = 54 - 17cdot3, logo
    1 = (54 - 17cdot3)cdot6 - 17 = 54cdot6 - 17cdot18 - 17 = 54cdot6 - 17cdot19
Isso mostra
1 = (-19),17 + 6,54
Para chegar em 8, multiplica tudo por 8:
8 = (-19cdot8),17 + (6cdot8),54 ;;Longrightarrow;; 8 = -152cdot17 + 48cdot54
Então uma solução particular é
X0 = -152, Y0 = 48

Passo 4

A forma geral das soluções de
17X + 54Y = 8
vem da teoria: se (X0,Y0) é uma solução e d=gcd(17,54)=1, então
X = X0 + 54d,t = -152 + 54,t,
Y = Y0 - 17d,t = 48 - 17,t,
com tinZ.

Resposta

As soluções inteiras são
boxedX = -152 + 54,t, Y = 48 - 17,t, tinZ

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