Questão 5 Para cada item, diga se a afirmação é verdadeira ou falsa.
c) Duas bases de um mesmo espaço vetorial podem ter quantidades diferentes de vetores.
c) Duas bases de um mesmo espaço vetorial podem ter quantidades diferentes de vetores.
Passo 1
Beleza, a gente tem essa afirmação: “Duas bases de um mesmo espaço vetorial podem ter quantidades diferentes de vetores.” O assunto aqui é base e dimensão de um espaço vetorial. Para resolver, vamos precisar lembrar o que é uma base (geradora e linearmente independente) e o teorema que diz que toda base de um espaço vetorial finito tem o mesmo número de vetores (a dimensão).
Passo 2
Antes de tudo, o que é base? Suponha um espaço vetorial
sobre um corpo
. Um conjunto
é base de
se simultaneamente:
- Gera
:
- É linearmente independente:
A quantidade
de vetores em qualquer base de
é justamente a definição de dimensão de
,
.
Passo 3
A parte crucial é o Teorema da Dimensão: se
é um espaço vetorial de dimensão finita, então quaisquer duas bases de
têm exatamente o mesmo número de vetores. Logo, não dá para ter uma base com, digamos, 3 vetores e outra com 4 vetores no mesmo espaço.
Resposta
Falsa.