Questão 5 Para cada item, diga se a afirmação é verdadeira ou falsa.
c) Duas bases de um mesmo espaço vetorial podem ter quantidades diferentes de vetores.

Passo 1

Beleza, a gente tem essa afirmação: “Duas bases de um mesmo espaço vetorial podem ter quantidades diferentes de vetores.” O assunto aqui é base e dimensão de um espaço vetorial. Para resolver, vamos precisar lembrar o que é uma base (geradora e linearmente independente) e o teorema que diz que toda base de um espaço vetorial finito tem o mesmo número de vetores (a dimensão).

Passo 2

Antes de tudo, o que é base? Suponha um espaço vetorial forall vin V,;exists,a1,dots,aninK tais que v = sumi=1^n ai,vi sobre um corpo sumi=1^n ai,vi = 0 implies a1 = a2 = cdots = an = 0 . Um conjunto é base de se simultaneamente:
  1. Gera :
  1. É linearmente independente:
A quantidade de vetores em qualquer base de é justamente a definição de dimensão de , .

Passo 3

A parte crucial é o Teorema da Dimensão: se é um espaço vetorial de dimensão finita, então quaisquer duas bases de têm exatamente o mesmo número de vetores. Logo, não dá para ter uma base com, digamos, 3 vetores e outra com 4 vetores no mesmo espaço.

Resposta

Falsa.

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