Considere o problema de encontrar o zero da função no intervalo usando um método de ponto fixo. Analise a convergência, quando a função de iteração é dada por:
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a raiz de em por ponto-fixo usando
Para estudar a convergência vamos precisar de dois critérios: (i) verificar se leva em si mesma; (ii) checar se existe tal que para todo em .
Passo 2
Verificamos o mapeamento de extremos:
Isso mostra que , que não está contido em . Logo, falha em mapear o intervalo em si mesmo.
Passo 3
Agora calculamos a derivada de :
No intervalo dado, implica
Como lvertvarphi'(x)rvert>1 em todo o intervalo, varphi não é uma contração.
Passo 4
Pela condição de ponto-fixo, precisamos de
varphi([0,5,0,6])subseteq[0,5,0,6],
maxxin[0,5,0,6]lvertvarphi'(x)rvert<1.
Ambas falham aqui: o intervalo imagem não coincide com o original e lvertvarphi'rvert>1. Sem contração, não há garantia de convergência.
Resposta
A iteração xn+1 = varphi(xn) = -ln(xn)não converge, pois varphi não é contrativa em [0,5,0,6] e não mapeia o intervalo em si mesmo.