Considere o problema de encontrar o zero da função f(x)=x+ln (x) no intervalo 0.5,0.6 usando um método de ponto fixo. Analise a convergência, quando a função de iteração é dada por:
varphi(x)=-ln (x);

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz de f(x)=x+ln(x) em [0,5,0,6] por ponto-fixo usando
varphi(x) = -ln(x)
Para estudar a convergência vamos precisar de dois critérios: (i) verificar se varphi leva [0,5,0,6] em si mesma; (ii) checar se existe L<1 tal que lvert varphi'(x)rvert <= L para todo x em [0,5,0,6].

Passo 2

Verificamos o mapeamento de extremos:
varphi(0,5) = -ln(0,5) = ln(2)approx 0,693>0,6,
varphi(0,6) = -ln(0,6)approx 0,5108>0,5
Isso mostra que varphi([0,5,0,6]) = [,0,5108,;0,693,], que não está contido em [0,5,0,6]. Logo, varphi falha em mapear o intervalo em si mesmo.

Passo 3

Agora calculamos a derivada de varphi:
varphi'(x) = -1x
No intervalo dado, xin[0,5,0,6] implica
l|varphi'(x)r| = 1x >= 10,6approx1,6667>1
Como lvertvarphi'(x)rvert>1 em todo o intervalo, varphi não é uma contração.

Passo 4

Pela condição de ponto-fixo, precisamos de
  1. varphi([0,5,0,6])subseteq[0,5,0,6],
  2. maxxin[0,5,0,6]lvertvarphi'(x)rvert<1.
    Ambas falham aqui: o intervalo imagem não coincide com o original e lvertvarphi'rvert>1. Sem contração, não há garantia de convergência.

Resposta

A iteração xn+1 = varphi(xn) = -ln(xn) não converge, pois varphi não é contrativa em [0,5,0,6] e não mapeia o intervalo em si mesmo.

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