Resolva em seu caderno o sistema:
\left\{\begin{array}{l} \frac{2}{u}+\frac{3}{v}=8 \\ \frac{1}{u}-\frac{1}{v}=-1 \end{array} S=\left\{\left(1, \frac{1}{2}\right)\right\}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\left\{\begin{array}{l} \frac{2}{u}+\frac{3}{v}=8 \\[4pt] \frac{1}{u}-\frac{1}{v}=-1 \end{array}\right.
Informações dadas importantes:
  • Temos duas equações envolvendo u e v através de suas recíprocas.
  • Implicitamente u\neq0 e v\neq0 porque aparecem denominadores.
  • O objetivo é encontrar o par (u,v) que satisfaz ambas as equações.
    (O enunciado também mostra o conjunto S=\left\{\left(1,\tfrac{1}{2}\right)\right\}, que sugere a solução esperada, mas vamos resolver do zero para confirmar.)]

Passo 2

Estratégia: substituir as recíprocas por variáveis para transformar o sistema numa forma linear fácil de resolver. Isso é comum quando aparecem 1/u e 1/v.
Defina
x=\frac{1}{u},\qquad y=\frac{1}{v}.
Aqui x é o número que multiplicado por u 1, e o mesmo para y com v. Como u e v são não nulos, essa transformação é válida e inversível (ou seja, de x e y voltamos para u e v por u=1/x, v=1/y, desde que x\neq0, y\neq0).

Passo 3

Escrevendo o sistema original em termos de x e y:
A primeira equação \frac{2}{u}+\frac{3}{v}=8 vira
2x+3y=8.
A segunda equação \frac{1}{u}-\frac{1}{v}=-1 vira
x-y=-1.
Portanto obtemos o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2x+3y=8 \\[4pt] x-y=-1 \end{array}\right.]

Passo 4

Resolver o sistema linear por substituição (método simples e direto):
Da segunda equação x-y=-1 isolamos x:
x = y-1.
Agora substituímos essa expressão de x na primeira equação 2x+3y=8:
2(y-1)+3y=8.

Passo 5

Desenvolvendo a equação substituída passo a passo:
2(y-1)+3y = 2y-2+3y = 5y-2.
Portanto a equação fica
5y-2=8.
Somando 2 a ambos os lados:
5y = 10.
Dividindo por 5:
y = 2.

Passo 6

Agora encontramos x usando x = y-1:
x = 2-1 = 1.

Passo 7

Voltando às variáveis originais u e v: lembrando x=\frac{1}{u} e y=\frac{1}{v},
\frac{1}{u}=x=1 \quad\Longrightarrow\quad u=1,
\frac{1}{v}=y=2 \quad\Longrightarrow\quad v=\frac{1}{2}.
Verificamos também que u\neq0 e v\neq0, então a inversão foi válida.

Passo 8

Verificação final: substituir (u,v)=(1,\tfrac{1}{2}) nas equações originais para garantir que realmente satisfazem o sistema.
Primeira equação:
\frac{2}{u}+\frac{3}{v}=\frac{2}{1}+\frac{3}{1/2}=2+3\cdot2=2+6=8,
que bate com 8.
Segunda equação:
\frac{1}{u}-\frac{1}{v}=\frac{1}{1}-\frac{1}{1/2}=1-2=-1,
que bate com -1.
Logo (1,\tfrac{1}{2}) é solução.

Resposta

\{(1,\tfrac{1}{2})\}

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