Resolva em seu caderno o sistema:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
Informações dadas importantes:
- Temos duas equações envolvendo
e através de suas recíprocas. - Implicitamente
e porque aparecem denominadores. - O objetivo é encontrar o par
que satisfaz ambas as equações.
(O enunciado também mostra o conjunto, que sugere a solução esperada, mas vamos resolver do zero para confirmar.)]
Passo 2
Estratégia: substituir as recíprocas por variáveis para transformar o sistema numa forma linear fácil de resolver. Isso é comum quando aparecem
e
.
Defina
Aqui
é o número que multiplicado por
dá
, e o mesmo para
com
. Como
e
são não nulos, essa transformação é válida e inversível (ou seja, de
e
voltamos para
e
por
,
, desde que
,
).
Passo 3
Escrevendo o sistema original em termos de
e
:
A primeira equação
vira
A segunda equação
vira
Portanto obtemos o sistema linear
Passo 4
Resolver o sistema linear por substituição (método simples e direto):
Da segunda equação
isolamos
:
Agora substituímos essa expressão de
na primeira equação
:
Passo 5
Desenvolvendo a equação substituída passo a passo:
Portanto a equação fica
Somando
a ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 6
Agora encontramos
usando
:
Passo 7
Voltando às variáveis originais
e
: lembrando
e
,
Verificamos também que
e
, então a inversão foi válida.
Passo 8
Verificação final: substituir
nas equações originais para garantir que realmente satisfazem o sistema.
Primeira equação:
que bate com
.
Segunda equação:
que bate com
.
Logo
é solução.