Discuta o sistema abalxo em função do parâmetro a.
\left\{\begin{array}{l} x+4 y-5 z=0 \quad a=\frac{3}{13} \Rightarrow S P D \\\\ 2 x-y+3 z=0 \\\\ 3 x+a y+2 z=0 \quad a=\frac{3}{13} \Rightarrow S P I \end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: "Discuta o sistema abaixo em função do parâmetro a\)". O sistema dado é homogêneo (termos independentes iguais a zero):
\[\begin{cases} x+4y-5z=0,\\[4pt] 2x-y+3z=0,\\[4pt] 3x+a y+2z=0. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
É um sistema linear homogêneo com 3\] equações e \(3 incógnitas x,y,z.
O parâmetro a aparece apenas no coeficiente da variável y na terceira equação.
Precisamos caracterizar o sistema dependendo do valor de a (por exemplo: se tem única solução ou infinitas soluções).
Observação: Como o sistema é homogêneo, a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0) sempre existe; a questão é saber se há apenas essa solução (determinado) ou soluções não triviais (indeterminado).]
Passo 2
Estratégia e conceito-chave (explicado de forma didática): para um sistema linear homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} com matriz de coeficientes A quadrada 3\times3,
Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o único vetor solução é \mathbf{x}=\mathbf{0} (sistema possível e determinado — SPD).
Se \det(A)=0 então A não é invertível; o sistema terá infinitas soluções não triviais (sistema possível e indeterminado — SPI), desde que a matriz de coeficientes não seja a matriz zero (ou seja, \operatorname{rank}(A)<3 e \operatorname{rank}(A)\ge 1).
Vou aplicar esse teste calculando o determinante da matriz de coeficientes.
Se \det(A)=3-13a\neq 0, isto é, se a\neq \dfrac{3}{13}, então A é invertível e o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial (0,0,0). Portanto, para a\neq\dfrac{3}{13} o sistema é SPD (possível e determinado).
Se a=\dfrac{3}{13}, então \det(A)=0 e temos que investigar o posto (rank) da matriz para saber a dimensão do espaço de soluções (ou seja, se existem soluções não triviais e quantas graus de liberdade).
Passo 5
Análise do caso crítico a=\dfrac{3}{13}. Substituo esse valor na matriz:
As razões são iguais, logo R_3=\dfrac{17}{13}R_2. Portanto, a terceira linha é combinação linear das anteriores e não aumenta o posto.
Assim o posto da matriz de coeficientes é \operatorname{rank}(A)=2 quando a=\dfrac{3}{13}.]
Passo 6
Consequência do posto 2 num sistema homogêneo com 3 incógnitas:
O espaço de soluções tem dimensão 3-\operatorname{rank}(A)=3-2=1. Ou seja, existe um grau de liberdade e infinitas soluções (uma reta de soluções passando pela origem).
Vou determinar uma solução geral não trivial (um parâmetro) para a=\dfrac{3}{13}.
Da eliminação obtivemos a linha R_2 (após operações): (0,-9,13), que representa a equação
-9y +13 z =0.
Escolha um parâmetro para a variável livre; o mais direto é deixar z=t. Da equação acima:
Podemos reparametrizar para evitar frações definindo t=9s, obtendo a forma inteira
(x,y,z)=s(-7,13,9),\qquad s\in\mathbb{R}.
Isto mostra explicitamente a reta de soluções (espaço nulo de dimensão 1).
Passo 7
Resumo interpretativo e reforço didático:
Para a\neq \dfrac{3}{13}: \det(A)=3-13a\neq 0 ⇒ matriz invertível ⇒ única solução para o sistema homogêneo: (0,0,0). Classificação: SPD (sistema possível e determinado).
Para a=\dfrac{3}{13}: \det(A)=0 e \operatorname{rank}(A)=2 ⇒ existem infinitas soluções formadas por uma reta passando pela origem; solução geral dada por (x,y,z)=s(-7,13,9) com s\in\mathbb{R}. Classificação: SPI (sistema possível e indeterminado).
Dica para prova (prática rápida): calcule o determinante em função de a. Se não for zero, acabou — SPD. Se for zero, faça rápida eliminação para achar o posto e parametrizar as soluções.
Resposta
Para a\neq \dfrac{3}{13}: SPD — única solução (x,y,z)=(0,0,0).
Para a=\dfrac{3}{13}: SPI — infinitas soluções, solução geral (x,y,z)=s(-7,13,9), s\in\mathbb{R}.