Discuta o sistema abalxo em função do parâmetro a.
\left\{\begin{array}{l} x+4 y-5 z=0 \quad a=\frac{3}{13} \Rightarrow S P D \\\\ 2 x-y+3 z=0 \\\\ 3 x+a y+2 z=0 \quad a=\frac{3}{13} \Rightarrow S P I \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: "Discuta o sistema abaixo em função do parâmetro a\)". O sistema dado é homogêneo (termos independentes iguais a zero): \[\begin{cases} x+4y-5z=0,\\[4pt] 2x-y+3z=0,\\[4pt] 3x+a y+2z=0. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • É um sistema linear homogêneo com 3\] equações e \(3 incógnitas x,y,z.
  • O parâmetro a aparece apenas no coeficiente da variável y na terceira equação.
  • Precisamos caracterizar o sistema dependendo do valor de a (por exemplo: se tem única solução ou infinitas soluções).
    Observação: Como o sistema é homogêneo, a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0) sempre existe; a questão é saber se há apenas essa solução (determinado) ou soluções não triviais (indeterminado).]

Passo 2

Estratégia e conceito-chave (explicado de forma didática): para um sistema linear homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} com matriz de coeficientes A quadrada 3\times3,
  • Se \det(A)\neq 0 então A é invertível e o único vetor solução é \mathbf{x}=\mathbf{0} (sistema possível e determinado — SPD).
  • Se \det(A)=0 então A não é invertível; o sistema terá infinitas soluções não triviais (sistema possível e indeterminado — SPI), desde que a matriz de coeficientes não seja a matriz zero (ou seja, \operatorname{rank}(A)<3 e \operatorname{rank}(A)\ge 1).
    Vou aplicar esse teste calculando o determinante da matriz de coeficientes.

Passo 3

Escrevemos a matriz de coeficientes A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & -5\\[4pt] 2 & -1 & 3\\[4pt] 3 & a & 2 \end{pmatrix}.
Vou calcular \det(A) por expansão na primeira linha (ou usando regra de Sarrus), explicando cada termo.
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] a & 2\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix} +(-5)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 3 & a\end{pmatrix}.
Agora calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] a & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2 - 3\cdot a = -2-3a,
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}=2\cdot 2 - 3\cdot 3 = 4-9=-5,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 3 & a\end{pmatrix}=2\cdot a - (-1)\cdot 3 = 2a+3.
Substituindo:
\det(A) = 1\cdot(-2-3a) -4\cdot(-5) +(-5)\cdot(2a+3).
Fazendo as contas passo a passo:
\det(A)= -2-3a +20 -10a -15.
Agrupando termos:
\det(A)=(-2+20-15)+(-3a-10a)=3-13a.]

Passo 4

Conclusão do teste do determinante:
  • Se \det(A)=3-13a\neq 0, isto é, se a\neq \dfrac{3}{13}, então A é invertível e o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial (0,0,0). Portanto, para a\neq\dfrac{3}{13} o sistema é SPD (possível e determinado).
  • Se a=\dfrac{3}{13}, então \det(A)=0 e temos que investigar o posto (rank) da matriz para saber a dimensão do espaço de soluções (ou seja, se existem soluções não triviais e quantas graus de liberdade).

Passo 5

Análise do caso crítico a=\dfrac{3}{13}. Substituo esse valor na matriz:
A\Big|_{a=\frac{3}{13}}=\begin{pmatrix} 1 & 4 & -5\\[4pt] 2 & -1 & 3\\[4pt] 3 & \tfrac{3}{13} & 2 \end{pmatrix}.
Faço eliminação de Gauss (passo a passo e com contas explícitas) para encontrar o posto:
  • Primeiro, use a primeira linha como pivô. Atualizo a segunda linha: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2 = (2,-1,3) -2(1,4,-5) = (0,-1-8,3+10) = (0,-9,13).
  • Atualizo a terceira linha: R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1:
R_3 = (3,\tfrac{3}{13},2) -3(1,4,-5) = (0,\tfrac{3}{13}-12,2+15) = \Bigl(0,\tfrac{3-156}{13},17\Bigr)=\Bigl(0,-\tfrac{153}{13},17\Bigr).
Agora observe se R_3 é múltiplo de R_2. Calculo a razão entre as componentes correspondentes:
\frac{17}{13}=\frac{17}{13}, \qquad \frac{-\tfrac{153}{13}}{-9}=\frac{153/13}{9}=\frac{153}{117}=\frac{17}{13}.
As razões são iguais, logo R_3=\dfrac{17}{13}R_2. Portanto, a terceira linha é combinação linear das anteriores e não aumenta o posto.
Assim o posto da matriz de coeficientes é \operatorname{rank}(A)=2 quando a=\dfrac{3}{13}.]

Passo 6

Consequência do posto 2 num sistema homogêneo com 3 incógnitas:
  • O espaço de soluções tem dimensão 3-\operatorname{rank}(A)=3-2=1. Ou seja, existe um grau de liberdade e infinitas soluções (uma reta de soluções passando pela origem).
    Vou determinar uma solução geral não trivial (um parâmetro) para a=\dfrac{3}{13}.
Da eliminação obtivemos a linha R_2 (após operações): (0,-9,13), que representa a equação
-9y +13 z =0.
Escolha um parâmetro para a variável livre; o mais direto é deixar z=t. Da equação acima:
-9y +13t =0 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{13}{9}t.
Agora use a primeira equação original x+4y-5z=0 para obter x:
x = -4y +5z = -4\cdot\frac{13}{9}t +5t = \left(-\frac{52}{9} + \frac{45}{9}\right)t = -\frac{7}{9}t.
Portanto a solução geral (para a=\dfrac{3}{13}) é
(x,y,z) = \left(-\frac{7}{9}t,\; \frac{13}{9}t,\; t\right),\qquad t\in\mathbb{R}.
Podemos reparametrizar para evitar frações definindo t=9s, obtendo a forma inteira
(x,y,z)=s(-7,13,9),\qquad s\in\mathbb{R}.
Isto mostra explicitamente a reta de soluções (espaço nulo de dimensão 1).

Passo 7

Resumo interpretativo e reforço didático:
  • Para a\neq \dfrac{3}{13}: \det(A)=3-13a\neq 0 ⇒ matriz invertível ⇒ única solução para o sistema homogêneo: (0,0,0). Classificação: SPD (sistema possível e determinado).
  • Para a=\dfrac{3}{13}: \det(A)=0 e \operatorname{rank}(A)=2 ⇒ existem infinitas soluções formadas por uma reta passando pela origem; solução geral dada por (x,y,z)=s(-7,13,9) com s\in\mathbb{R}. Classificação: SPI (sistema possível e indeterminado).
    Dica para prova (prática rápida): calcule o determinante em função de a. Se não for zero, acabou — SPD. Se for zero, faça rápida eliminação para achar o posto e parametrizar as soluções.

Resposta

Para a\neq \dfrac{3}{13}: SPD — única solução (x,y,z)=(0,0,0).
Para a=\dfrac{3}{13}: SPI — infinitas soluções, solução geral (x,y,z)=s(-7,13,9), s\in\mathbb{R}.

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