Um dispositivo eletrônico utiliza o sistema de ponto flutuante (beta, t, m, M)=(10,4,- 1023,1024). Nesse dispositivo, arredonda-se a parcela de alpha que não pode ser incorporada `a mantissa de fl ( alpha ).
a) Como esse dispositivo representa os números x=273,95 e y=21,13 ?
b) Qual o resultado da operação fl(fl(x)+fl(y)) ?
c) E o valor de fl (fl (x) × fl (y))?
d) Calcule o erro relativo entre o valor exato (antes do arredondamento) e o valor aproximado dos resultados das letras be c.
e) Se esse dispositivo utiliza-se um sistema binário de ponto flutuante, definido por (beta, t, L, U)=(2,4,-127,128), como seria representado o número z=22, 25 ?

Passo 1

O enunciado trata de aritmética de ponto flutuante normalizado em base decimal (beta=10) com t=4 dígitos significativos. Vamos precisar:
  • Normalizar cada número na forma pm(d1d2d3d4)times10^e com d1neq0.
  • Arredondar ao quarto dígito significativo (técnica de arredondamento usual).
  • Calcular soma e produto com arredondamento da mantissa a cada operação.
  • Calcular erro relativo como |aprox-exato||exato|.
  • Converter z para ponto flutuante binário com (beta=2,t=4).

Passo 2

Representação de x=273,95 e y=21,13.
Para x:
273,95 = 2,7395times10^2
Mantissa tem 5 dígitos 2,7,3,9,5, arredondamos aos 4 primeiros:
o quinto dígito é 5, então
fl(x)=2,740times10^2
Para y:
21,13 = 2,113times10^1
Já tem 4 dígitos 2,1,1,3, logo
fl(y)=2,113times10^1

Passo 3

Cálculo de fll(fl(x)+fl(y)r).
Primeiro a soma exata das aproximações:
fl(x)+fl(y)=2,740times10^2+2,113times10^1=274,0+21,13=295,13
Normalizamos:
295,13 = 2,9513times10^2
Temos 5 dígitos 2,9,5,1,3; o quinto é 3<5, então
fll(fl(x)+fl(y)r)=2,951times10^2

Passo 4

Cálculo de fll(fl(x)timesfl(y)r).
Multiplicamos mantissas e somamos expoentes:
2,740times2,113 = 5,79262,10^2times10^1=10^3
Logo o produto é
5,79262times10^3
São 6 dígitos 5,7,9,2,6,2; queremos 4 dígitos: 5,7,9,2 e o quinto é 6>=5, arredonda o quarto de 2 para 3:
fll(fl(x)timesfl(y)r)=5,793times10^3

Passo 5

Erro relativo dos resultados de (b) e (c).
Para a soma, o valor exato é
x+y=273,95+21,13=295,08
Aproximação é 295,10.
ERsoma=|295,10-295,08|295,08approx0,02295,08approx6,78times10^-5
Para o produto, o valor exato é
273,95times21,13=5788,5635
Aproximação é 5793.
ERprod=|5793-5788,5635|5788,5635approx4,43655788,5635approx7,67times10^-4

Passo 6

Representação de z=22,25 em ponto flutuante binário com (beta=2,t=4).
Escrevemos 22,25 em binário:
22,2510=10110,012
Normalizando:
10110,012=1,0110012times2^4
Mantissa tem bits 1.011001; tomamos 4 dígitos significativos 1,0,1,1 e o quinto bit é 0<1, sem arredondar:
fl2(z)=1,0112times2^4

Resposta

(a) fl(x)=2,740times10^2,;fl(y)=2,113times10^1
(b) fll(fl(x)+fl(y)r)=2,951times10^2
(c) fll(fl(x)timesfl(y)r)=5,793times10^3
(d) Erro relativo da soma approx6,78times10^-5, do produto approx7,67times10^-4
(e) Em binário com t=4:
z=22,25mapsto1,0112times2^4

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