Durante um campeonato de futebol, o time A tem uma vitória, três empates e uma derrota e está com 16 pontos. O time B tem dois empates e três derrotas e está com 12 pontos. O time C se encontra com três jogos a menos e tem apenas uma vitória e um empate estando atualmente com 8 pontos. Os pontos nesse campeonato de futebol são obtidos pela seguinte fórmula:
pontos =n v times v+n e times e+n d times d,
onde
nv: número de vitórias;
v: pontos pela vitória;
ne: número de empates;
e: pontos pelo empate;
nd: número de derrotas;
d : pontos pela derrota.
É correto afirmar que a soma v+e+d é igual a
a) 4
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A matéria aqui é sistemas de equações lineares: temos três incógnitas (v, e, d), que são respectivamente os pontos por vitória, empate e derrota, e três equipes com dados de número de vitórias, empates, derrotas e total de pontos. A fórmula geral é
pontos = nv times v + ne times e + nd times d
O objetivo final é descobrir o valor de v+e+d

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações para cada time com base na fórmula:
Time A (1 vitória, 3 empates, 1 derrota e 16 pontos):
1cdot v + 3cdot e + 1cdot d = 16 Longrightarrow v + 3e + d = 16 (1)
Time B (0 vitórias, 2 empates, 3 derrotas e 12 pontos):
0cdot v + 2cdot e + 3cdot d = 12 Longrightarrow 2e + 3d = 12 (2)
Time C (tem 3 jogos a menos que o A, ou seja, A jogou 5 partidas e C joga 2: 1 vitória, 1 empate, 0 derrotas, total 8 pontos):
1cdot v + 1cdot e + 0cdot d = 8 Longrightarrow v + e = 8 (3)

Passo 3

Da equação (3) já retiramos:
v + e = 8 Longrightarrow v = 8 - e (4)
Isso é uma técnica de substituição: isolamos uma variável para inserir nas outras equações.

Passo 4

Agora usamos (4) em (1):
v + 3e + d = 16
substituindo v=8-e:
(8 - e) + 3e + d = 16 Longrightarrow 8 + 2e + d = 16 Longrightarrow 2e + d = 8(5)
Temos também a equação (2):
2e + 3d = 12(2)
Agora resolvemos o sistema formado por (5) e (2):
(5) é 2e + d = 8, então d = 8 - 2e.
Substituindo em (2):
2e + 3,(8 - 2e) = 12
2e + 24 - 6e = 12
-4e = -12
e = 3

Passo 5

Com e=3:
  • Da (4): v = 8 - e = 8 - 3 = 5.
  • De d = 8 - 2e = 8 - 2cdot3 = 8 - 6 = 2.
Então achamos
v = 5, e = 3, d = 2

Resposta

A soma v + e + d = 5 + 3 + 2 = 10

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