A variação de deslocamento x(t) de uma massa suspensa é modelada pela equação diferencial:
d xd t=-beta x
onde beta é uma constante de amortecimento. Se o sistema começa com um deslocamento inicial de 0,5 metro e beta=0.1 s^-1, determine o deslocamento após 10 segundos.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: temos uma massa que balança e o deslocamento dxdt = -beta,x obedece à equação diferencial
com amortecimento e condição inicial m.
Conteúdo: equações diferenciais de 1ª ordem (decaimento exponencial) e o método de separação de variáveis.

Passo 2

A equação
dxdt = -beta,x
é “separável”, ou seja, dá pra isolar 1x,dx = -beta,dt de um lado e do outro:
Isso significa que podemos integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral 1x,dx = integral -beta,dt Longrightarrow ln|x| = -beta,t + C,
onde é uma constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial ln|x(0)| = ln(0.5) = -betacdot 0 + C Longrightarrow C = ln(0.5) m para achar ln|x| = -beta,t + ln(0.5) Longrightarrow x(t) = e^ln(0.5),e^-beta,t = 0.5,e^-beta,t :
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Passo 5

Agora é só substituir x(10) = 0.5,e^-0.1cdot 10 = 0.5,e^-1 approx 0.5 times 0.3679 approx 0.1839 m e :

Resposta

metros.

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