Usando o método dos mínimos quadrados de maneira conveniente, aproxime os pontos da tabela abaixo por uma função do tipo .
0
1
1
2
2
4
3
8
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente aproximar os pontos (0,1), (1,2), (2,4) e (3,8) por um polinômio de grau 2, ou seja, achar coeficientes , e tais que
fique “mais pertinho” dos dados.
Conteúdo: método dos mínimos quadrados aplicado a regressão quadrática.
O que a gente vai precisar:
Montar as equações normais (derivar o erro quadrático em relação a cada coeficiente).
Calcular as somas necessárias (, , etc.).
Resolver o sistema linear resultante para achar , e .
Passo 2
Teoria rápida de mínimos quadrados (MSQ):
A ideia é minimizar
Derivamos em relação a , e e igualamos a zero. Isso gera o sistema (chamado “equações normais”):
Onde (número de pontos).
Passo 3
Calcular as somas dos dados: &n=4, sum xi = 0+1+2+3 =6, sum xi^2 =0^2 +1^2 +2^2 +3^2=14, &sum xi^3 =0+1+8+27=36, sum xi^4 =0+1+16+81=98, &sum f(xi)=1+2+4+8=15, sum xi,f(xi)=0cdot1+1cdot2+2cdot4+3cdot8=34, &sum xi^2,f(xi)=0cdot1+1cdot2+4cdot4+9cdot8=90
Substituindo nas equações normais:
[ 4 & 6 & 14 6 & 14 & 36 14& 36 & 98 cba = 153490
.
]
Passo 4
Agora é só resolver o sistema
4c + 6b +14a = 15
6c +14b +36a = 34
14c+36b +98a = 90
Fazendo eliminação (por exemplo, eliminando 5b + 15a = 11.5, 15b+49a = 37.5 das duas últimas linhas usando a primeira) chegamos a: