Usando o método dos mínimos quadrados de maneira conveniente, aproxime os pontos da tabela abaixo por uma função do tipo a x^2+b x+c.
x f(x)
0 1
1 2
2 4
3 8

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente aproximar os pontos (0,1), (1,2), (2,4) e (3,8) por um polinômio de grau 2, ou seja, achar coeficientes p(x)=a,x^2 + b,x + c , e tais que
fique “mais pertinho” dos dados.
Conteúdo: método dos mínimos quadrados aplicado a regressão quadrática.
O que a gente vai precisar:
  1. Montar as equações normais (derivar o erro quadrático em relação a cada coeficiente).
  2. Calcular as somas necessárias ( , , etc.).
  3. Resolver o sistema linear resultante para achar , e .

Passo 2

Teoria rápida de mínimos quadrados (MSQ):
A ideia é minimizar
E(a,b,c)=sumi=1^4l(f(xi)-l(a,xi^2 + b,xi + cr)r)^2
Derivamos sum xi^0,(a xi^2 + b xi + c) = sum f(xi)[6pt] sum xi^1,(a xi^2 + b xi + c) = sum xi,f(xi)[6pt] sum xi^2,(a xi^2 + b xi + c) = sum xi^2,f(xi) em relação a , e e igualamos a zero. Isso gera o sistema (chamado “equações normais”):
Onde (número de pontos).

Passo 3

Calcular as somas dos dados:
&n=4, sum xi = 0+1+2+3 =6, sum xi^2 =0^2 +1^2 +2^2 +3^2=14, &sum xi^3 =0+1+8+27=36, sum xi^4 =0+1+16+81=98, &sum f(xi)=1+2+4+8=15, sum xi,f(xi)=0cdot1+1cdot2+2cdot4+3cdot8=34, &sum xi^2,f(xi)=0cdot1+1cdot2+4cdot4+9cdot8=90
Substituindo nas equações normais:
[
4 & 6 & 14 6 & 14 & 36 14& 36 & 98 cba = 153490

.
]

Passo 4

Agora é só resolver o sistema
4c + 6b +14a = 15
6c +14b +36a = 34
14c+36b +98a = 90
Fazendo eliminação (por exemplo, eliminando 5b + 15a = 11.5, 15b+49a = 37.5 das duas últimas linhas usando a primeira) chegamos a:
b + 3a = 2.3 Rightarrow b = 2.3 -3a,
Daí
15(2.3 -3a) + 49a = 37.5 Longrightarrow 34.5 -45a +49a = 37.5 Longrightarrow 4a = 3 Longrightarrow a = 0.75
substituindo na segunda:
b = 2.3 -3cdot0.75 = 0.05,
Depois
4c + 6cdot0.05 + 14cdot0.75 = 15 Longrightarrow 4c + 0.3 + 10.5 = 15 Longrightarrow c = 1.05
e de volta na primeira linha original

Resposta

A melhor parábola por mínimos quadrados é
boxedp(x) = 0.75,x^2 ;+;0.05,x;+;1.05

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