Determine o vetor solução do sistema abaixo, utilizando o método iterativo de Gauss-Jacobi e estude o sistema quanto a convergência usando o critério das linhas.
x^(0)=[0,0,0]^T, varepsilon <= 0,002
c 10 x1+2 x2+6 x3=28 x1+10 x2+x3=7 2 x1-7 x2-10 x3=-17

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar, por iterações de Gauss–Jacobi, a solução do sistema
10x1 + 2x2 + 6x3 = 28, x1 + 10x2 + x3 = 7, 2x1 -7x2 -10x3 = -17,
com chute inicial x^(0)=[0,0,0]^T e tolerância varepsilon<=0,002. Além disso, precisamos verificar se o método converge usando o critério das linhas.
Conteúdo: métodos iterativos (Jacobi), critério de convergência por dominância diagonal. Vamos precisar isolar cada xi e checar a dominância de cada linha.

Passo 2

Antes de iterar, a teoria diz que a Jacobi converge se a matriz dos coeficientes A=(aij) for estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja,
|aii|>sumjne i|aij|forall i
Aqui:
  • Linha 1: |10|>2+6=8checkmark
  • Linha 2: |10|>1+1=2checkmark
  • Linha 3: |-10|>2+7=9checkmark
Logo, o método de Jacobi vai convergir.

Passo 3

A fórmula de iteração de Jacobi é
xi^(k+1) =1aiil(bi - sumjneq iaij,xj^(k)r)
Isolando em cada linha, temos
x1^(k+1)=dfrac28 -2,x2^(k) -6,x3^(k)10,[6pt] x2^(k+1)=dfrac7 - x1^(k) - x3^(k)10,[6pt] x3^(k+1)=dfrac-17 -2,x1^(k) +7,x2^(k)-10 =dfrac17 +2,x1^(k) -7,x2^(k)10

Passo 4

Vamos calcular algumas iterações e checar o máximo das diferenças
|De.
Iteração 1 ( k=0to1), com x^(0)=[0,0,0]:
x^(1)=l[2.8,;0.7,;1.7r]^T, |De 0,002
Iteração 2 ( k=1to2):
x^(2)=l[1.64,;0.25,;1.77r]^T, |De 0,002

Passo 5

Iteração 3 ( k=2to3):
x^(3)=l[1.688,;0.359,;1.853r]^T, |De 0,002
Iteração 4 ( k=3to4):
x^(4)=l[1.6164,;0.3459,;1.7863r]^T, |De 0,002

Passo 6

Iteração 5 ( k=4to5):
x^(5)=l[1.65904,;0.35973,;1.78115r]^T, |De 0,002
Iteração 6 ( k=5to6):
x^(6)=l[1.659364,;0.355981,;1.779997r]^T, |De 0,002

Passo 7

Iteração 7 ( k=6to7):
x^(7)=l[1.660806,;0.356064,;1.782686r]^T, |De 0,002
Iteração 8 ( k=7to8):
x^(8)=l[1.659176,;0.355651,;1.782916r]^T, |De
Agora atingimos a tolerância desejada.

Resposta

O vetor solução aproximado pelo método de Gauss–Jacobi, com varepsilon<=0,002, é
boxedxapproxl[1.65918,;0.35565,;1.78292r]^T
E o sistema é estritamente diagonalmente dominante, garantindo a convergência do método.

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