Com base nos dados a seguir, determine o polinômio de interpolação de 2^circ grau que faz o melhor ajuste de dados.
x 1 3 5
y 2,2 5,0 5,5

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar o polinômio de grau 2 que “passa” exatamente pelos três pontos P(x)=ax^2+bx+c , e . Isso é um problema de interpolação polinomial: a ideia é supor
e forçar , e . Para resolver, a gente vai montar um sistema de três equações lineares em e depois usar eliminação (ou qualquer método de sistema) pra achar os coeficientes.

Passo 2

Montando as equações a partir de acdot1^2 + bcdot1 + c = 2,2 ;Longrightarrow; a + b + c = 2,2 :
  1. Para acdot3^2 + bcdot3 + c = 5,0 ;Longrightarrow; 9a + 3b + c = 5,0 :
acdot5^2 + bcdot5 + c = 5,5 ;Longrightarrow; 25a + 5b + c = 5,5
  1. Para :
  1. Para :

Passo 3

Agora a gente “elimina” (9a+3b+c)-(a+b+c)=2,8 ;Longrightarrow;8a+2b=2,8 ;Longrightarrow;4a+b=1,4 subtraindo equações:
  • (2) menos (1):
(25a+5b+c)-(9a+3b+c)=0,5 ;Longrightarrow;16a+2b=0,5 ;Longrightarrow;8a+b=0,25
  • (3) menos (2):

Passo 4

Temos o sistema em 4a + b = 1,4, 8a + b = 0,25 :
(8a+b)-(4a+b)=0,25-1,4 ;Longrightarrow;4a=-1,15 ;Longrightarrow;a=-0,2875
Subtraindo a primeira da segunda:
b=1,4-4a=1,4-4(-0,2875)=1,4+1,15=2,55
Então
c=2,2-(a+b)=2,2-(-0,2875+2,55)=2,2-2,2625=-0,0625
Por fim, volta em :

Resposta

O polinômio de interpolação de 2º grau é
boxedP(x) = -0,2875,x^2 ;+;2,55,x;-;0,0625

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