A economia de um carro (km/litro) varia com sua velocidade. Em um experimento, são feitas as cinco medições a seguir.
Velocidade (km/h) 16 40 64 88 112
Economia (km/litro) 4,2 9,2 10 10,7 8,6
Determine o polinômio interpolador de Newton de quarta ordem que passa pelos pontos. Use esse polinômio para calcular a economia de combustível a .

Passo 1

O enunciado fornece cinco pontos
(x0,y0)=(16,,4,2), (x1,y1)=(40,,9,2), (x2,y2)=(64,,10), (x3,y3)=(88,,10,7), (x4,y4)=(112,,8,6)
e pede o polinômio interpolador de Newton de quarta ordem, usando diferenças divididas, e em seguida a avaliação em x=48.

Passo 2

Calculamos as diferenças divididas de primeira e segunda ordem:
Para as primeiras ordens:
f[x0,x1]=9,2-4,240-16=0,208333, f[x1,x2]=10-9,264-40=0,0333333,
f[x2,x3]=10,7-1088-64=0,0291667, f[x3,x4]=8,6-10,7112-88=-0,0875
Para as segundas ordens:
f[x0,x1,x2]=0,0333333-0,20833364-16=-0,00364583, f[x1,x2,x3]=0,0291667-0,033333388-40=-0,0000868056,
f[x2,x3,x4]=-0,0875-0,0291667112-64=-0,00243056

Passo 3

Agora as diferenças divididas de terceira e quarta ordem:
f[x0,x1,x2,x3] =-0,0000868056 - (-0,00364583)88-16 =0,0000494226,
f[x1,x2,x3,x4] =-0,00243056 - (-0,0000868056)112-40 =-0,0000325486,
f[x0,x1,x2,x3,x4] =-0,0000325486 - 0,0000494226112-16 =-0,000000853554

Passo 4

O polinômio interpolador de Newton de ordem 4 fica
P4(x)=4,2 +0,208333,(x-16) -0,00364583,(x-16)(x-40)
+0,0000494226,(x-16)(x-40)(x-64) -0,000000853554,(x-16)(x-40)(x-64)(x-88)

Passo 5

Para x=48 calculamos termo a termo:
(x-16)=32,;(x-40)=8,;(x-64)=-16,;(x-88)=-40
Logo
P4(48)=4,2 +0,208333cdot32 -0,00364583cdot(32cdot8)
+0,0000494226cdot(32cdot8cdot(-16)) -0,000000853554cdot(32cdot8cdot(-16)cdot(-40)) approx9,59

Resposta

O polinômio de Newton é
P4(x) = 4,2 + 0,208333 cdot (x - 16) - 0,00364583 cdot (x - 16)(x - 40) + 0,0000494226 cdot (x - 16)(x - 40)(x - 64) - 0,000000853554 cdot (x - 16)(x - 40)(x - 64)(x - 88),
e a economia estimada a 48,km/h é aproximadamente 9,59 km/l.

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